3. Уравнение Шредингера

В 1926 году швейцарский физик Эрвин Шредингер записал в явном виде уравнение для волн волновой механики.

И сегодня до конца не ясно, как он нашел это уравнение.

Может быть, он рассуждал следующим образом.

Согласно гипотезе де-Бройля, каждой движущейся микрочастице должна быть сопоставлена волна.

Пусть свободной микрочастице, летящей вдоль оси x, соответствует плоская волна

(13.5)

Свяжем параметры волны с энергией и импульсом микрочастицы

Теперь уравнение (13.5) можно записать иначе:

(13.6)

Продифференцируем это выражение один раз по времени и дважды – по координате:

(13.7)

(13.8)

В случае свободного движения нерелятивистской частицы, ее энергия и импульс связаны простым соотношением:

Теперь, принимая во внимание это соотношение, легко связать уравнения(13.7) и (13.8)

(13.9)

Это и есть волновое уравнение Шредингера для одномерного движения свободной частицы.

В случае движения микрочастицы в силовом поле, потенциальная энергия U, полная энергияEи импульс частицы связаны таким соотношением

Объединяя в этом выражении уравнения (13.7) и (13.8), получим:

Или еще так

(13.10)

Это уравнение Шредингера для одномерного движения микрочастицы в силовом поле.

Для частицы, движущейся в произвольном направлении, запишем волновое уравнение в таком виде:

(13.11)

Это уравнение получило название нестационарное волновое уравнение Шредингера.

Здесь: оператор Лапласа.

Таким образом

При движении микрочастицы в стационарном (неизменном во времени) силовом поле, решение уравнения Шредингера может быть представлено произведением двух множителей, один из которых является функцией только координат, а другой – только времени

(13.12)

Используем это решение в дифференциальном уравнении (13.10)

(13.13)

Сократив на общий множитель , получимуравнение Шредингера для стационарных состояний:

. (13.14)

Это же уравнение можно представить еще и в таком виде:

.

Итог лекции 13

Уравнения Шредингера

1) Для одномерного движения свободной частицы (U= 0)

2) Для одномерного движения частицы в силовом поле

3) Нестационарное волновое уравнение

4) Стационарное волновое уравнение

Мы познакомились с различными уравнениями движения микрочастиц – с волновыми уравнениями Шредингера. Но до сих пор остается не ясным: каково содержание самой Ψ – функции?

Рассматривая, например, акустическую волну, мы составляли волновое уравнение для давления или плотности среды. В волновом уравнении электромагнитной волны речь шла о напряженности электрического или магнитного полей…

Что же означает в уравнении Шредингера пси-функция (Ψ)? Каков ее физический смысл?

Этот вопрос мы подробно обсудим на следующей лекции.

Лекция 14. «Уравнение Шредингера»

План лекции:

1. Уравнение Шредингера. Волновая функция и её физический смысл.

2. «Квантование как проблема собственных значений».

2.1 Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.

2.2 Туннельный эффект.

1. Уравнение Шредингера. Волновая функция и её физический смысл

В самом начале 1923 года молодой французский физик Луи де Бройль опубликовал свою теорию волновой природы вещества. Основные положения теории были изложены в трёх его знаменитых докладах, предоставленных им Парижской Академии наук. Ключевым постулатом теории являлось предположение, что с каждой частицей с массой покоя m₀связан волновой процесс с частотой ω₀.

При этом

Здесь: ħ— постоянная Планка,

c— скорость света в пустоте.

Вскоре новая волновая механика получила неопровержимые экспериментальные подтверждения в работах Дависсона, Джермера, Томсона, Тартаковского, Фабриканта, и других исследователей.

Идея де Бройля привлекла внимание швейцарского физика Эрвина Шредингера. В 1926 году ему удалось в явном виде записать уравнение для волн волновой механики, т.е. для дебройлевских волн, связанных с материальными частицами

(14.1)

Важным отличием этого волнового уравнения от классических уравнений распространения различных волн состоит в присутствии мнимых коэффициентов в уравнении Шредингера. Эти мнимые коэффициенты принципиально неустранимы и в волновой ψ - функции.

Тем самым математически подтверждается тот факт, что волнам де Бройля, сопряженным с частицами, нельзя приписать «физического существования». Поэтому сам де Бройль называл эту волну «фиктивной», а Эйнштейн окрестил её «волной-призраком».

Но вскоре за этими волнами закрепилось другое название: «волны вероятности».

В 1927 годы Гейзенберг и Борн пришли к выводу, что квадрат модуля волновой функции в любой точке пространства и в любой момент времени есть мера того, что соответствующая частица находится в этой точке и в этот момент. Иными словами Борн и Гейзенберг предполагают существование частицы и связанной с ней непрерывной волны ψ, но частица не имеет ни определённой скорости, ни определённой траектории. Речь может идти лишь о вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства. Эту вероятность и определяет волна ψ – функции - решение уравнения Шредингера.

Таким образом, вероятность dPобнаружить частицу в объёмеdVможно записать в следующем виде

(14.2)

Здесь: A— коэффициент пропорциональности.

Так как вероятность обнаружить частицу в пространстве равна единице («достоверное событие»), то

Обычно выбирают ψ - функцию так, чтобы A= 1, т.е.

Этот интеграл представляет собой «условие нормировки».

Волновая функция (ψ), удовлетворяющая условию нормировки, называется нормированной функцией. Для нормированной ψ-функции

(14.3)

В случае стационарногосилового поля

Это означает, что плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке стационарного поля, не меняется со временем:

(14.4)

Ещё раз отметим, что в волновой механике нет таких понятий классической механики как траектория, «точное» положение или «точная» скорость микрочастицы.

ψ-функция позволяет предсказать лишь вероятность обнаружения частицы в различных точках пространства.

На следующих двух примерах поясним, как решаются конкретные задачи о движение микрочастиц с помощью волнового уравнения Шредингера.