2. Геометрические типы гармонических волн

Плоская волна

.

Цилиндрическая волна

.

Сферическая волна

.

4. Эффект Доплера

Рассмотрим распространение волн на поверхности жидкости.

Пусть волны возникают в результате падения на поверхность капель воды. Эти капли через одинаковые промежутки времени T₀ покидают неподвижную капельницу.

Распространяющиеся волны будут представлять собой концентрические окружности. Частота, которую воспринимает приемник в этом случае

Теперь заставим нашу капельницу – источник волн - двигаться горизонтально со скоростью U. Картина волн изменится: теперь это система эксцентрических окружностей. В направлении движения источника расстояние между гребнями станет меньше, т.е. их частота возрастет. Вычислим, частоту, которую зарегистрирует приемник в произвольном направлении θ (рис. 1.3).

.

Рис. 1.3

При θ = 0, π

При ω_θ = ω₀

Можно показать, что частота сигнала меняется не только в результате движения источника (u), но и при движении приёмника (v_п).

При движении источника (u) и приёмника (v_п) по одной прямой, частота, регистрируемая приёмником, будет равна

(1.20)

Здесь: v — скорость волны,

v_п — скорость приёмника,

u — скорость источника.

При движется — к источнику v_п > 0,

— от источника v_п< 0.

Источник движется — к приемнику u>0,

— от приемника u< 0.

5. Итог лекции 1

1. Дифференциальное волновое уравнение

.

Здесь v — фазовая скорость.

2. Уравнение плоской скалярной монохроматической волны.

.

В этом уравнении:

A — амплитуда,

ω — частота,

— фаза волны,

— волновое число.

3. Эффект Доплера

При движении источника и приёмника волн по одной прямой, приёмник зарегистрирует частоту

Здесь: ω₀— частота волн, излучаемого источника,

v — скорость волны,

v_п— скорость приемника,

u - cкорость источника волны.

Лекция 2 «Акустические волны»

План лекций

1. Скорость звука в средах.

1.1. Продольные волны в твёрдом теле.

1.2. Упругая волна в идеальном газе.

2. Энергетические характеристики упругих волн. Вектор Умова.

3.Поведение продольных волн на границе двух сред.

Итог лекции 2.

На прошлой лекции мы установили главное уравнение динамики волновых процессов— дифференциальное волновое уравнение:

(2.1)

Метод, которым мы воспользовались при выводе этого уравнения, никак не назовёшь прямым. Наверное, поэтому этот вывод оставляет чувство некоторого разочарования.

Сегодня мы покажем, что волновое уравнение (2.1) возникает самым естественным образом при описании волновых процессов и что это уравнение есть ни что иное, как уравнение второго закона Ньютона: !

1. Скорость звука в средах

   1. Продольные волны в твёрдом теле

Нанесём удар по оси металлического (для определённости) стержня. В стержне возникает упругая волна деформации ξ=ξ(x).

Выделенный элемент стержня (Δx) не только сместится при прохождении волны, но и деформируется (рис.2.1). Это и понятно: ведь смещения разных сечений стержня будут разными. Например, если

ξ — смещение сечения x, а (ξ + Δξ) — смещение сечения (x+ Δx), то

Δξ — абсолютная деформация выделенного элемента(Δx).

—относительная деформация всечении x.

По поводу этой характеристики сделаем два замечания.

Во-первых, это не усреднённое значение относительной деформации по всему элементу Δx, а локальная характеристика «в сечении».

Во-вторых, мы здесь воспользовались частной производной по координате, памятуя о том, что деформация при прохождении по стержню волны меняется ещё и во времени. В данном случае нас интересует фотографияпроцесса: мы рассматриваем изменение деформации вдоль стержня в заданный момент «остановленного» времени.

В результате деформации стержня в его сечении возникают упругие силы, интенсивность которых принято характеризовать напряжением:

Согласно закону Гука напряжение в любом сечении стержня пропорционально относительной деформации ε:

σ = Eε.

Здесь E — модуль упругости (Юнга).

Теперь запишем основное уравнение динамики для выделенного элемента стержня :

Рис. 2.1

x

Рис.2.1

В этом уравнении:

,

- масса выделенного элемента,

- его ускорение.

Распишем по – подробнее упругую силу, действующую вдоль оси стержня.

Таким образом

Теперь уравнение второго закона Ньютона можно привести к следующему виду:

. (2.2)

Или записать его так:

. (2.3)

Сравним этот результат с уравнением (2.1).

Понятно, что полученный нами результат (2.3) — классическое дифференциальное волновое уравнение.

Отсюда как минимум два вывода:

1. Нанося удар по стержню, мы возбуждаем в нём волновой процесс.

2. Скорость распространения такой продольной волны в стержне

определяется только его материалом: плотностью (ρ) и модулем упругости (E).

(2.4)