2. Гармонические колебания

В качестве примера рассмотрим колебания пружинного маятника без затухания (рис. 1.1). Дифференциальным уравнением движения этого идеализированного осциллятора является уравнение второго закона Ньютона.

Рис. 1.1

.

или. (1.1)

Общее решение уравнения (1.1) — гармоническая функция смещения от времени

. (1.2)

Скорость груза mтоже меняется по гармоническому закону

(1.3)

Здесь α— амплитуда,

— частота собственных незатухающих колебаний,

— фаза,

— начальная фаза колебания.

Начальные условия колебания позволяют определить его амплитуду (α) и начальную фазу ().

Пусть при t= 0, координатаx(0) =x₀, а скорость.

Запишем уравнения (1.2) и (1.3) для момента времени t= 0:

Отсюда следует, что

и.(1.6)

3. Скалярные и векторные волны

Гармоническая волна — процесс распространения гармонического колебания в пространстве. Мы будем рассматривать как упругие (акустические) волны так и волны электромагнитные.

Если распространяются колебания скалярной величины, то соответствующая волна — скалярная.Если же волна переносит колебания векторной величины, то такая волна называется векторной.

В звуковой волне, распространяющейся, например, в атмосфере, происходят колебания давления, плотности, температуры воздуха. Всё это скалярные параметры газа, поэтому и волна скалярная.

Электромагнитная волна относится к классу векторных волн, поскольку в этом процессе претерпевают изменения векторные характеристики волны — напряжённости электрического () и магнитного () полей.

1. Кинематические характеристики плоской скалярной волны.

В общем случае уравнение плоской скалярной волны можно записать в виде

S=f(t,x) (1.7)

Это уравнение означает, что скалярный параметр S в любой заданный момент времени имеет одно и то же значение во всех точках плоскости x=x₁= const.

Наибольший интерес для нас будет представлять волна, в которой координата (х) и время (t) входят в уравнение (1.7) в виде линейной комбинации

S=f(at-bx). (1.8)

Здесь aиb— постоянные,

f— функция, определяющая форму передаваемого сигнала.

Мы будем рассматривать распространение гармонического колебания, когда параметр Sменяется во времени и в пространстве по гармоническому закону.

a) Осциллограммаволны:S=f(t).

Рассмотрим зависимость S=f(t) для двух плоскостейx= 0 иx=x₁.

x= 0S(t,0)=S(at) (1.9)

(1.10)

Сравнение уравнений (1.9) и (1.10) показывает, что изменение параметра Sв плоскостиx, в точности повторяет изменение этой величины в плоскостиx= 0, но с запаздыванием на, где.

b) Фотографияволны.

Рассмотрим фотографию волны в плоскости xв моменты времениt= 0 иt=t₁.

(1.11)

. (1.12)

Сопоставляя эти уравнения, приходим к выводу, что волна не меняет своей формы: за времяt₁сигнал перемещается со скоростьювдоль осиХна расстояние vt₁. Волна при этомне деформируется.

Вывод:

— уравнениеплоскойскалярной,недеформируемойволны, распространяющейся со скоростьюв положительном направлении осиx.

В случае синусоидальной волны f— гармоническая функция координаты и времени.

Путь в плоскости, проходящей через начало координат, происходят колебания с частотой ω(рис. 1.2).

начальная фаза колебаний.

В плоскости, отстоящей от исходной на расстоянии l, эти колебания повторяются с запаздыванием .Здесь v — скорость распространения волны.

Колебания в точке, определяемой радиус – вектором (рис.1.2):

Мы пришли к уравнению плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении.

(1.14)

Рис. 1.2

Здесь: — волновой вектор,

— волновое число.

— единичный вектор, совпадающий по направлению с направлением распространения волны.

Волновой вектор — тоже указывает направление движения волны.

В частном случае

(1.15)

Формула 1.15 — уравнение плоской волны, движущейся в положительном направлении оси Х.

Это монохроматическая(одноцветная) волна

Зафиксировав какое – либо значение фазы волны, получим уравнение движения выбранной фазовой поверхности (в нашем случае – плоскости)

(1.16)

Волновой (фазовой) поверхностью называется геометрическое место точек, в которых фаза волны имеет одинаковое значение.

Продифференцируем уравнение (1.16) по времени:

. (1.17)

Скорость движения фазовой поверхности v_фравна скорости распространения волны. Если плоская волна движется в отрицательном направлении осиx, то v < 0 и уравнение волны принимает вид

.

Уравнение волныявляется решениемдифференциального волнового уравнения:

. (1.18)

Докажем это, показав, что гармоническая функция (1.15) обращает дифференциальное уравнение (1.18) в тождество.

Здесь — фаза волны.

.

Рассмотрим две фазовые поверхности плоской волны

.

.

Разность этих фаз

Колебания, происходящие со сдвигом по фазе, кратным 2π, называются

синфазными.Иными словами, разность фаз двух синфазных колебаний равна

Минимальное расстояние между двумя фазовыми поверхностями, в которых происходят синфазные колебания, называется длиной волны (λ)

.

.

Поэтому

. (1.19)

Здесь: —период колебания,

λ — длина волны. Длину волны теперь можно определить как расстояние, которое проходит волна за время одного полного колебания T (λ = v T).