2. Интенсивность дифракционной картины

Вновь разделим поверхность щели на узкие полоски, параллельные её краям. Но теперь проследим за тем, чтобы все эти подзоны были одинаковой площади. В этом случае вторичные волны, излучаемые полосками, будут иметь одинаковые амплитуды ΔА.

Каждая следующая волна, кроме того, будет иметь неизменный сдвиг по фазе относительно предыдущей. Величина фазового сдвига будет зависеть от угла φ.

Сложим графически все эти волны в максимуме нулевого порядка (φ = 0). Здесь все волны собираются в фазе. Соответствующая векторная диаграмма приведена на рис. 8.4.

∆А

Рис. 8.4

Эта сумма равна А₀. Особо отметим очевидный, но важный факт: амплитуда результирующего колебанияА₀равна сумме модулей векторов.

Обратимся теперь к направлению(φ₁), соответствующему первому максимуму.

Этому направлению отвечает разность хода волн от краёв щели, равная :

Это означает, что щель может быть поделена на 3 зоны Френеля. Две из них погасят друг друга, а третья обеспечит максимум номер 1 (первый дифракционный максимум).

Соответствующая векторная диаграмма (спираль) приведена на рис. 8.5.

Рис.8.5

Вспомним «очевидную, но важную деталь»: длина этой спирали – по-прежнему А₀, т.е.

Следовательно, .

Вычислим амплитуду второго максимума. Его условие:

Спираль, отвечающая первому максимуму, имела полтора витка (см. рис. 8.5).

А теперь подобная же векторная диаграмма будет иметь уже два с половиной витка (при той же длине А₀!)

Значит, полная длина спирали в два с половиной оборота будет равна

Таким образом, во втором максимуме амплитуда колебания составит такую величину:

Итак,

,

Легко догадаться, не производя вычислений, что в третьем максимуме амплитуда

,

затем

.

И так далее.

Интенсивности колебаний в максимумах будут соотноситься как квадраты амплитуд, то есть: ,,

С увеличением номера максимума интенсивность быстро уменьшается, то есть основная энергия, прошедшая с волной сквозь щель, локализуется в «нулевом» центральном максимуме (рис. 8.3).

Вычислим теперь угловую ширину центрального максимума (см. рис. 8.3). Он ограничен первыми минимумами, условия которых известны:

.

Отсюда угловая ширина нулевого максимума

.

При малом угле , поэтому

.

3. Критерий типа дифракции

Для того чтобы наблюдать дифракцию Фраунгофера — дифракцию в параллельных пучках, нам пришлось поставить за щелью собирающую линзу.

Но уже на интуитивном уровне понятно, что при малой ширине щели (b) и значительном расстоянии до экрана (l), дифракцию Фраунгофера можно получить и без линзы.

Так в каких же случаях возникает тот или иной тип дифракции?

Для ответа на этот вопрос обратимся к рис. 8.6.

Рис. 8.6

Здесь Δ —разность хода волн от краёв щели.

Напомним, что в случае дифракции в параллельных пучках (Фраунгофера) эта разность хода равна

(8.8)

Теперь вычислим эту величину в общем случае, воспользовавшись теоремой косинусов (см. рис. 8.6)

.

На этом этапе уместно пренебречь малой величиной высшего порядка — , так как. Тогда разность хода волн, пришедших в точку наблюдения от краев щели, можно записать так:

. (8.9)

При r→ ∞, формула (8.8) приводит к разности хода, соответствующей дифракции Фраунгофера (8.7).

Заменяя в расчёте реальную разность хода (8.8) «идеальной» (8.7), мы соглашаемся с погрешностью

Если , то речь идёт о дифракции Фраунгофера.

Когда — это дифракция Френеля.

В качестве критерия типа дифракции принято использовать безразмерный параметр

где: l — расстояние от щели до экрана.

При изменении ширины щели (b), расстояния до экрана (l) или длины волны (λ), в общем случае будет меняться и величина параметраР.

Характер дифракционной картины, возникающей за щелью на экране, связан с величиной этого безразмерного параметра следующим образом

Этот результат имеет интересное геометрическое толкование (рис. 8.7).

P

Рис. 8.7

Если из точки наблюдения Pмы видим в плоскости щелиmзон Френеля, то

Отсюда следует: .

Здесь мы пренебрегли слагаемым по сравнению с

Таким образом, безразмерный параметр Р связан с числом зон Френеля в плоскости щели.

m=P« 1 — дифракция Фраунгофера,

m=P≈ 1 — дифракция Френеля,

m=P» 1 — геометрическая оптика.

Если щель открывает только малую долю центральной зоны Френеля — на экране дифракция Фраунгофера с соответствующим распределением максимумов и минимумов (рис. 8.3).

Если в плоскости щели помещается небольшое число зон Френеля – на экране возникнет дифракция Френеля: по краям изображения щели будут видны тёмные и светлые полосы.

В случае большого числа зон Френеля в плоскости щели, её изображения на экране можно построить, используя методы геометрической оптики.

Итог лекции 8.

1. Дифракция Фраунгофера от длинной щели.

2. Критерий типа дифракции.