2. Дифракция в «сходящихся - расходящихся» пучках света. Этот вид дифракции получил название «дифракция Френеля» (рис. 7.2).

2.Принцип Гюйгенса-Френеля

Явление дифракции, то есть огибание волнами препятствий и проникновение их в область геометрической тени, качественно объяснил голландский астроном, механик и физик Христиан Гюйгенс. В трактате «Распространение света» (1678 г.) он впервые высказал идею о вторичных волнах.По Гюйгенсу, любая точка пространства, до которой дошёл фронт волны, становится элементарным источником вторичных сферических волн. Новое положение фронта волны совпадает с огибающей всех вторичных волн (рис. 7.4.Из трактата Х.Гюйгенса «Распространение света» ).

Рис.7.4

Это довольно искусственное предположение Гюйгенса получило неожиданное развитие в работе французского инженера-строителя Жана Френеля. В 1819 году (вскоре после окончания франко-русской кампании) Френель опубликовал свою знаменитую работу «Экспериментальное и теоретическое исследование дифракционных явлений».

Суть френелевой теории дифракции состоит в следующем.

Для отыскания интенсивности колебаний, создаваемых источником в точке наблюдения P(рис. 7.5), окружим источник произвольной замкнутой поверхностьюS.

Рис. 7.5

В соответствии с принципом Гюйгенса, каждая точка этой поверхности должна рассматриваться как источник вторичных сферических волн.

Интенсивность в точке Pможно отыскать, сложив бесконечное число вторичных волн, учитывая их амплитуду и фазу.

По Френелю каждый элемент поверхности dSизлучает элементарную сферическую волну, которую в точке наблюденияPможно записать так

. (7.1)

Здесь: a₀— амплитуда вторичной волны на поверхностиdS;

r— расстояние от поверхности до точки наблюденияP(вторичная волна – сферическая, поэтому её амплитуда убывает с расстояниемa₀/r),

k(φ) — коэффициент, зависящий от угла φ между нормалью к элементуdSи направлением на точкуP. Этот коэффициент максимален при φ = 0 и равен 0 при.

Амплитуда результирующего колебания равна

. (7.2)

Теперь легко отыскать интенсивность волны в точке наблюдения P: ведь

Ещё раз вкратце повторим суть теории дифракции Френеля.

Назовём реальный источник A — первичным источником, излучаемую им волну — первичной волной.

Выделенная замкнутая поверхность S представляет собой геометрическое место точек — вторичных источников. Они излучают вторичные волны.

Принцип Гюйгенса-Френеля предлагает заменить первичную волну реального источника в точке наблюдения P суперпозицией вторичных волн, излучаемых поверхностью S.

В результате сложения бесконечного числа волн в точке наблюдения может возникнуть как максимум, так и минимум интенсивности. Всё будет определяться соотношением фаз складываемых волн.

Почему же в таком случае это явление получило название «дифракция», а не «интерференция»?

Это исторически сложившаяся терминология: результат сложения нескольких когерентных волн – интерференция, суперпозиция N волн — многолучевая интерференция, а сумма бесконечного числа волн — уже дифракция.

3. Метод векторных диаграмм. Зоны Френеля

Оставим на время интеграл Френеля (7.2) и поясним суть принципа Гюйгенса-Френеля на примере «осесимметричной задачи» дифракции (рис.7.6).

Рис. 7.6

S — первичный источник сферических волн, P — точка наблюдения.

Радиусом a=SОвыделим фрагмент сферической волновой поверхности. Волновую поверхность разделим на кольцевые зоны — зоны Френеля. Первую зону — сферический сегмент — выделим радиусом. Здесьb— расстояние от вершины (полюса) волновой поверхности — точки О до точки наблюденияP.

Остальные зоны будем вырезать на сферической волновой поверхности, увеличивая каждый раз радиус от точки Pна.

Таким образом, расстояние от внешнего края m-ой зоны до точки P составит величину

(7.3)

Смысл деления волновой поверхности на такие зоны состоит в том, что колебания, приходящие в точку Pот «сопряжённых» точек двух соседних зон, происходят в противофазе. Поэтому и результирующие колебания в точкеPот двух соседних зон будут иметь сдвиг по фазе на π.

Как следует из уравнения Френеля (7.2), амплитуда вторичных колебаний пропорциональна площади зоны. Покажем, что для не слишком большого числа зон Френеля (m), площади всех зон примерно одинаковы (рис. 7.7).

Рис. 7.7

Выделим на волновой поверхности mзон Френеля. Площадьm-ой зоны

∆S_m=S_m–S_m-1.

Здесь S_m и S_m-1 — площади сферических сегментов, содержащих соответственно (m) и (m-1) зону.

Из рисунка 7.7 следует

(7.4)

Отсюда нетрудно вычислить высоту сферического сегмента

Пренебрегая слагаемым, содержащим λ², получим:

(7.5)

Площади сферических сегментов:

,

Теперь ясно, что площадь m-ой кольцевой зоны Френеля

(7.6)

Полученный результат свидетельствует о том, что площадь зоны не зависит от её номера — m. Это означает, что площади зон Френеля приблизительно одинаковы.

Попутно отметим, что из уравнения (7.4) можно получить выражение для радиуса m-ой зоны

(7.7)

Вернёмся к интегралу Френеля (уравнение 7.2)

Рассмотрим его отдельно для каждой из зон. С ростом номера, как было показано, площадь зоны не меняется, но растёт расстояние и уменьшается коэффициентk(φ) (с увеличением φ). В результате, с ростом номера зоны амплитуды соответствующих колебаний в точкеPбудут монотонно убывать:

E₁>E₂>E₃>…>…

Учитывая, что колебания от двух соседних зон в точке наблюдения происходят в противофазе, амплитуду результирующего колебания можно представить в виде:

E_P = E₁ – E₂ + E₃ – E₄ +…

Или так:

(7.8)

Амплитуды с ростом номера зоны монотонно убывают, поэтому можно принять, что Отсюда следует, что все скобки в выражении (7.8) равны нулю.

Амплитуда колебания, создаваемого в точке Pвсеми вторичными источниками сферической волновой поверхности:

Эта амплитуда вдвое меньшеамплитуды того колебания, которое создаётся в точке Pвторичными источниками только одной первой зоны (!). Если открыта не вся волновая поверхность, а толькоmзон, то результирующая амплитуда:

— при нечётномm

и

— при чётномm.

Более детально эту задачу можно решить, воспользовавшись методом векторных диаграмм.

Разобьём зоны Френеля на сферической волновой поверхности на большое число «подзон».Каждая зона Френеля, таким образом, будет разделена на большое число элементарных кольцевых полосок. В точке наблюдения эти подзоны будут создавать колебания, сдвинутые по фазе на малую долю π. Сложим эти колебания, используя метод векторных диаграмм (рис. 7.8)

Рис. 7.8

На рисунке 7.8 модуль каждого вектора равен амплитуде колебаний, приходящих в точку Pот соответствующей подзоны. И каждый вектор повёрнут относительно предыдущего на угол, равный разности фаз этих соседних колебаний.

Учитывая, что с ростом номера подзоны амплитуда колебаний падает, в результате сложения колебаний получим не замкнутую линию, а ломаную спираль. При увеличении числа подзон и, соответственно, уменьшении их площади, ломаная спираль будет стремиться к гладкой (рис. 7.9).

Рис. 7.9