4. Особенности суперпозиции световых волн. Когерентность

Рассмотрим теперь суперпозицию двух векторныхсветовых волн.

Здесь и— единичные векторы, определяющие поляризацию волн.

В результате сложения этих волн, согласно принципу суперпозиции,

.

Значит интенсивность результирующей волны, пропорциональная квадрату амплитуды, может быть представлена так:

. (4.6)

Заметим, что частота колебаний в световой волне порядка ω ~ 10¹⁴с^-1, а период, соответственно, —Т~ 10^-14с. Не существует приборов, способных измерять мгновенные значения столь быстро меняющегося параметра. Прибор будет регистрировать лишь среднее значение напряженности за время быстродействия прибора — τ (τ >>Т).

Усредним слагаемые уравнения (4.6)

.

Итак, начнем почленно усреднять:

.

Здесь аргумент косинуса меняется с высокой частотой ω, поэтому

.

Тот же результат получим и для второго слагаемого:

.

Прежде чем анализировать результат усреднения третьего (интерференционного) слагаемого перепишем его несколько иначе:

.

Скалярное произведение единичных векторов равно

где: α— угол между направлениями поляризации волн.

Для того чтобы наблюдать устойчивую интерференционную картину, необходимо, чтобы этот угол не менялся во времени:α≠ƒ(t).

В дальнейшем мы будем рассматривать сложение волн, поляризованных в одной плоскости. Для таких волн α= 0 и cosα= 1.

Далее отметим, что аргумент косинуса

меняется во времени с высокой частотой . Поэтому среднее значение

Обратимся теперь к разности фаз .

Чтобы освободиться от временной зависимости интенсивности и иметь устойчивое во времени пространственное интерференционное перераспределение энергии, нужно

1) чтобы частоты волн были одинаковыми, то есть , и

2) чтобы разность начальных фаз оставалась постоянной

Волны, отвечающие этим условиям, называются когерентными.

Повторим условия когерентности.

Волны когерентны, если:

1. их частоты одинаковы,

2. разность их начальных фаз постоянна и

3. угол между направлениями поляризации волн остается постоянным .

Напомним, что мы будем рассматривать частный случай, когда волны поляризованы в одной плоскости: .

Вернемся к среднему значению третьего (интерференционного) слагаемого. Теперь его можно переписать в таком виде:

.

Здесь волновые числа складываемых волн изависят от скорости волн в разных средах. Как известно, скорость распространениясветав среде, гдеn— показатель преломления среды. Тогда

где

λ₀— длина волны в вакууме, одинаковая для обеих волн.

Произведение геометрического хода волныr₁на показатель преломления средыn₁называетсяоптическим ходомволны (r_1*n₁).

Значение интерференционного слагаемого зависит от разности оптического хода волн.

Если волны распространяются в одной и той же или в одинаковых средах, то n₁ = n₂ = nи.

Этот вывод будет справедлив и для второй волны: .

Тогда уравнение (4.6) окончательно можно представить в таком виде:

. (4.7)

Интерференционная картина будет иметь наибольшую контрастность, если интенсивность волн будет одинаковой I₁=I₂=I₀. Тогда результирующая интенсивность равна

. (4.8)

Результат (4.8) еще более упростится, если в пространстве перекрываются волны от двух синфазныхисточников. Это означает, что

или.

Интенсивность результирующей волны в этом случае можно записать так:

. (4.9)

Здесь – волновое число,разность хода волн.

Условие интерференционного максимума (см.4.9):

то есть , гдеm = 0, 1, 2, 3,…

В этом случае разность хода волн .

Максимум наблюдается в тех точках, для которых разность хода ∆rравна целому числу длин волн (четному числу полуволн).

Условие интерференционного минимума (I = 0) (см.4.9):

то естьили

При суперпозиции когерентных волн возникает минимум, когда разность их оптического хода равна нечетному числу полуволн.

Итог лекции 4

1. Когерентными называются волны, поляризованные в одной плоскости , имеющие одинаковую частотуи неизменную разность начальных фаз

2. При наложении когерентных волн наблюдается устойчивое во времени пространственное перераспределение энергии:

.