Arkhiv_v_pomosch / Построение полинома Жегалкина

Построение полинома Жегалкина.

Пример.

Рассмотрим пример построения полином Жегалкина по таблице истинности, содержащей 3 переменные Методом неопределенных коэффициентов.

	x	y	z	f
a0	0	0	0	1
a1	0	0	1	1
a2	0	1	0	0
a3	0	1	1	1
a4	1	0	0	0
a5	1	0	1	0
a6	1	1	0	1
a7	1	1	1	0

Запишем общий вид полинома Жегалкина:

1) 1=a0;

2) 1=a0a1*z, 1=1a1_. Каким должно быть a1, чтобы выполнялось равенство? Воспользуемся таблицей функции :

X1	X2	f
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Из таблицы видно, что равенство равно 1, когда значения переменных разные. Следовательно, a1=0;

3) 0=а0a1*za2*y, 0=10*0a2*1, 0=10a2. Упростим равенство: принимая во внимание, что 10=1, получаем: 0=1a2, из чего по таблице определяем, что a2=1;

4) 1=a0a1*za2*ya3*y*z, 1=101a3. Упростим: 10=1 11=0, получим: 1=0a3. По таблице a3=1;

5) 0=a0a1*za2*ya3*y*za4*x, 0=1000a4. Упростим: 10=1, 10=1, 1=1. Получим: 0=1a4, по таблице: a4=1;

6) 0=a0a1*za2*ya3*y*za4*xa5*x*z, 0=10001a5, упрощаем как делали выше, получаем: a5=0;

7) 1=a0a1*za2*ya3*y*za4*xa5*x*za6*x*y, 1=10100a6. a6=0;

8) 0=a0a1*za2*ya3*y*za4*xa5*x*za6*x*ya7*x*y*z, 0=1011100a7. a7=0;

Подставляем коэффициенты в общую форму полинома:

F(x,y,z)=11*x1*y0*z0*x*y1*y*z0*x*z1*x*y*z=1xyyz

Проверка:

x	y	z	f
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

Проверка выполняется путем подстановки значений x,y,z в полученную формулу. Разберем пример подстановки для 4й строчки: f(0,1,1)=1011*1, 11=0, 01=1. f(0,1,1)=1, поэтому все верно.

Результат проверки считается положительным, если все результаты постановки в полученный полином совпадают с соответствующими значениями функции. Или, что проще, если полученная таблиц совпадает с исходной.