Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Ответы на вопросы по Прикладной Математике

.pdf
Скачиваний:
46
Добавлен:
11.02.2015
Размер:
114.82 Кб
Скачать

f (x) =

0

при

x < 0

f (x) =

λ · e− λ ∙ x

x ³ 0

 

Где λ – постоянная положительная величина. Итак, показательное распределение определяется одним параметром λ.

Функция распределения показательного распределения имеет вид:

F(x) =

0

при

x < 0

F(x) =

1- e− λ ∙ x

x ³ 0

 

Математическое ожидание величины, распределенной по показательному закону равно

M = λ1

а дисперсия

D = λ12

Нормальное распределение

Это распределение описывается формулой

 

 

1

 

 

( x− a)2

f (x) =

 

 

· e

2∙ σ 2

σ ·

 

 

 

 

2 · π

 

 

 

 

 

a – математическое ожидание

σ – среднеквадратичное отклонение

Общее нормальное распределение – нормальное распределение с параметрами a и σ (σ>0)

F(x) – функция общего нормального распределения

Нормированное нормальное распределение – распределение с параметрами a=0 и σ=1.

F0(x) – функция нормированного распределения

X – нормальная величина с параметрами a и σ.

U =

(X − a)

-

нормированная нормальная величина

σ

 

 

 

M(U)=0

σ(U)=1

F(x) = F0 æçè (xσ- a) ö÷ø

11

График нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса. Если исследовать эту функцию, видно, что

1.Она распределена по всей оси Ox.

2.При всех значениях x функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью Ox.

3.Предел функции при неограниченном возрастании x (по абсолютной величине) равен, т.е. ось Ox служит горизонтальной асимптотой графика.

4.Производная функции равна 0 при x=a, y’>0 при x<a y’<0 при x>a. Следовательно, при x=a

функция имеет максимум, равный

1

 

·

 

]

2 · π

5.Разность x-a содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой x=a.

6.Исследуем функцию на точки перегиба, используя вторую производную. Видно, что при x=a+σ и x=a-σ вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак, т.е. это точки перегиба.

Возрастание a => сдвиг кривой вправо вдоль оси Ox Убывание a => сдвиг кривой влево вдоль оси Ox.

Возрастание σ => сужение кривой вдоль оси Oy Убывание σ => вытягивание кривой вдоль оси Oy. =1

Нормированная кривая – кривая с параметрами a=0, σ=1.

Функция Лапласа – функция распределения стандартизованной гауссовской величины Ф(х) (т.е. интеграл нормированного нормального распределения).

N(a,σ)

 

 

 

 

 

 

é β

- α

ù

é α

- β

ù

P< X < β ) = Фê

 

 

ú

- Фê

 

 

ú

 

σ

 

σ

ë

 

û

ë

 

û

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределено случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного

числа δ, т.е. требуется найти вероятность осуществелния неравенства | X – a | < δ.

P(

 

< δ ) =

æ

δ

ö

 

X - a

2 · Фç

 

÷

σ

 

 

 

è

ø

 

 

 

Правило трех сигм

Правило трех сигм – если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.

На практике – если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально.

P(

 

< δ ) =

æ

δ

ö

 

X - a

2 · Фç

 

÷

σ

 

 

 

è

ø

 

 

 

12

если представить что δ = σ*t, то

P( X a < σ ∙ t) = 2 ∙ Ф(t)

13