Ответы на вопросы по Прикладной Математике
.pdff (x) = |
0 |
при |
x < 0 |
|
f (x) = |
λ · e− λ ∙ x |
x ³ 0 |
||
|
Где λ – постоянная положительная величина. Итак, показательное распределение определяется одним параметром λ.
Функция распределения показательного распределения имеет вид:
F(x) = |
0 |
при |
x < 0 |
|
F(x) = |
1- e− λ ∙ x |
x ³ 0 |
||
|
Математическое ожидание величины, распределенной по показательному закону равно
M = λ1
а дисперсия
D = λ12
Нормальное распределение
Это распределение описывается формулой
|
|
1 |
|
|
− ( x− a)2 |
|
f (x) = |
|
|
· e |
2∙ σ 2 |
||
σ · |
|
|
|
|||
|
2 · π |
|||||
|
|
|
|
|
a – математическое ожидание
σ – среднеквадратичное отклонение
Общее нормальное распределение – нормальное распределение с параметрами a и σ (σ>0)
F(x) – функция общего нормального распределения
Нормированное нормальное распределение – распределение с параметрами a=0 и σ=1.
F0(x) – функция нормированного распределения
X – нормальная величина с параметрами a и σ.
U = |
(X − a) |
- |
нормированная нормальная величина |
|
σ |
||||
|
|
|
M(U)=0
σ(U)=1
F(x) = F0 æçè (xσ- a) ö÷ø
11
График нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса. Если исследовать эту функцию, видно, что
1.Она распределена по всей оси Ox.
2.При всех значениях x функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью Ox.
3.Предел функции при неограниченном возрастании x (по абсолютной величине) равен, т.е. ось Ox служит горизонтальной асимптотой графика.
4.Производная функции равна 0 при x=a, y’>0 при x<a y’<0 при x>a. Следовательно, при x=a
функция имеет максимум, равный |
1 |
|
|
[σ · |
|
] |
|
2 · π |
5.Разность x-a содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой x=a.
6.Исследуем функцию на точки перегиба, используя вторую производную. Видно, что при x=a+σ и x=a-σ вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак, т.е. это точки перегиба.
Возрастание a => сдвиг кривой вправо вдоль оси Ox Убывание a => сдвиг кривой влево вдоль оси Ox.
Возрастание σ => сужение кривой вдоль оси Oy Убывание σ => вытягивание кривой вдоль оси Oy. =1
Нормированная кривая – кривая с параметрами a=0, σ=1.
Функция Лапласа – функция распределения стандартизованной гауссовской величины Ф(х) (т.е. интеграл нормированного нормального распределения).
N(a,σ) |
|
|
|
|
|
|
|
é β |
- α |
ù |
é α |
- β |
ù |
||
P(α < X < β ) = Фê |
|
|
ú |
- Фê |
|
|
ú |
|
σ |
|
σ |
||||
ë |
|
û |
ë |
|
û |
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределено случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного
числа δ, т.е. требуется найти вероятность осуществелния неравенства | X – a | < δ.
P( |
|
< δ ) = |
æ |
δ |
ö |
|
|
||||||
X - a |
2 · Фç |
|
÷ |
|||
σ |
||||||
|
|
|
è |
ø |
||
|
|
|
Правило трех сигм
Правило трех сигм – если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.
На практике – если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально.
P( |
|
< δ ) = |
æ |
δ |
ö |
|
|
||||||
X - a |
2 · Фç |
|
÷ |
|||
σ |
||||||
|
|
|
è |
ø |
||
|
|
|
12
если представить что δ = σ*t, то
P( X − a < σ ∙ t) = 2 ∙ Ф(t)
13