ВОПРОС 19-28 динамика

,

откуда . (2.34)

Для диссипативной (скорректированная модель Фохта) системы, уравнение движения есть

.

.

Откуда

Из (2.35) видно, что передаточная функция есть величина комплексная

,(2.36)

–(2.38)

фазово-частотная характеристика (ФЧХ) динамической системы.

Из (2.34), (2.37) получается формула динамического коэффициента системы

для консервативной системы и

для исправленной диссипативной модели Фохта.

Известно, что Sin(x)=[exp(ix)-exp(-ix)]/2i, Cos(x)=[exp(ix)+exp(-ix)]/2. Используя эти формулы и результаты решения на гармоническое

воздействие , а также четность АЧХ и нечетность ФЧХ получаем

при

и

Рис. 2.5. График динамического коэффициента при γ = 0.1

Рассмотрим график АЧХ (динамического коэффициента рис. 2.5). Если частота возмущающей силы приближается к собственной частоте колебаний

Для вывода теоремы используем теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме (5), подставляя в нее количество движения, вычисленное по формуле (12). Вынося постоянную массу системы за знак производной, имеем запись теоремы о движении центра масс:

(15)

По внешнему виду запись совпадает с дифференциальным уравнением движения точки. Поэтому теорему о движении центра масс можно сформулировать следующим образом: центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, в которой сосредоточена

масса всей системы и к которой приложены все внешние силы системы.

Векторному равенству (15) соответствуют три скалярных уравнения записи теоремы в проекциях на оси координат:

(16)

Здесь предполагается, что оси декартовой системы координат являются инерциальными и считаются неподвижными. Для практического использования равенств (16) полезно знать формулы, которые можно получить из выражений (4) в п. 6 для координат центра масс:

(17)

Теорема имеет закон сохранения. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю, то есть Re = 0, то, согласно (15), скорость центра

масс остается постоянной, равной его начальной скорости VC = const = V0C, причем, если начальная скорость равна нулю, то есть V0C = 0, то центр масс остается неподвижным.

Закон сохранения может иметь место и при движении вдоль одной из осей координат, например, Ox, когда сумма проекций всех внешних сил на эту ось равна нулю, то есть Rx = 0. Тогда, согласно (16), проекция скорости центра масс на ось Ox остается величиной постоянной, равной своему начальному значению VCx = const = V0Cx, а если проекция начальной скорости равна нулю, то есть V0Cx = 0, то координата xC центра масс не изменяется и xC = const = x0C, где x0C - координата центра масс системы в начальном положении

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема об изменении количества движения системы утверждает[2][3]:

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил,

действующих на материальную точку с номером i обозначим .

Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать , а силу воздействия i-й точки на k-ю точку — . Очевидно, что при ,

то

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

Учитывая, что и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил,

действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и,

значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

Используя для количества движения системы обозначение , получим

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

где и — значения количества движения системы в моменты времени и соответственно,

а — импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется

Явление резонанса возникает при совпадаении частот вынужденных и свободных кол-ний точки p=k. Диф-ное ур-ние: . Частное решение:

х**= Вtcos(kt+d), B=—h/(2k), т.е. общее решение диф-ного ур-ния: х = C1coskt + C2sinkt — —h/(2k)tcos(kt+d). Ур-ние показывает, что амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает пропорционально времени. Период

Т=2p/k, фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на p/2.

ВОПРОС 27

Затухающие колебания

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по оси x. На точку при ее движении действуют восстанавливающая сила F и сила

Уравнение (9.13) представляет собой дифференциальное уравнение свобод-

Величины а и являются постоянными интегрирования и определяются по

Колебания, происходящие по закону (9.17), называют затухающими, так как благодаря наличию множителя е-bt величина x = ОМ с течением времени убывает, стремясь к нулю. График этих колебаний показан на рис. 9.4.

Промежуток времени Т1, равный периоду sin(k1t ) , называют

периодом затухающих колебаний:

Из полученных зависимостей видно, что Т1 Т, то есть при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Но если сопротивление

b 2

мало (b k), то величиной k 2 по сравнению с единицей можно пренебречь и считать Т1 Т.

Промежуток времени между двумя последовательными отклонениями колеблющейся точки также равен Т1. Следовательно, если первое максимальное отклонение x1 происходит в момент времени t1, то второе отклонение x2 наступит в момент t2 = t1+ Т1 и т. д. Тогда, учитывая, что

k1T1 2 , из формулы (9.17) получим:

e bT

1

центра О убывают по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии называется декрементом затухающих колебаний, а натуральный логарифм декремента – величина bT1, называется логарифмическим декрементом.

Из полученных результатов следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает их постепенное затухание.

В случаях, когда b k или b= k, движение точки является апериодическим, то есть оно уже не имеет характера колебательного движения.

Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит, то есть возмущающая сила «навязывает» системе свою частоту колебаний.

В этом случае интенсивность затухания колебательного движения характеризуют логарифмическим декрементом затухания, равным In(At/At + T), где At, At + T - амплитуды колебаний (значения берутся на огибающей, переходного процесса) в моменты времени t и t + T, Т - период колебаний (см. рис. к статье Заброс по перегрузке). В общем случае рассматривают логарифмические декременты по каждой составляющей колебательного движения

Апериодическое движение - частный случай затухающего колебательного движения, при котором собственно колебательное движение развиться не может и материальная точка или система таких точек, выведенная из положения своего устойчивого равновесия, приближается к последнему с убывающей скоростью без колебаний.

ВОПРОС 28

Силы инерции и моменты сил инерции возникают при изменении скорости движения звеньев. Силы инерции препятствуют движению при ускорении и способствуют ему при замедлении. Формулы для определения:

Таким образом, из формул (12) и (13) следует, что главный момент сил инерции системы относительно ее центра масс равен взятой со знаком минус производной по времени от момента количеств движения системы относительно центра масс, вычисленного в абсолютном или относительном движении.

Приведение сил инерции твердого тела.

Согласно теореме Пуансо, доказанной в статике твердого тела, система сил инерции твердого тела приводится к одной силе или главному вектору, приложенному в центре приведения, и одной паре сил, момент которой равен главному моменту сил инерции относительно центра приведения. Причем величина и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения (главный вектор является инвариантом системы сил), а величина и направление главного момента изменяются при смене центра приведения.

По следствию принципа Даламбера (6) центром приведения является

центр O (подвижный или неподвижный), поэтому главный вектор сил инерции твердого тела приложен в этом центре, а его величина и направление определяется по формуле

(8) и не зависят от выбора центра приведения. Главный момент MO(Фi) сил инерции твердого тела также приложен в центре приведения, но зависит от выбора центра приведения. На рис. 52, a показан результат приведения сил инерции твердого тела, когда за центр приведения выбран центр O, а на рис 52, b показан тот же результат, но когда за центр приведения выбран центр масс тела C. Главный вектор сил инерции не изменил ни направления, ни величины, сменилась только точка его приложения, но зато изменился главный момент сил инерции и MO(Фi) <> MO(Фi). То есть главный вектор сил инерции совсем не обязательно проходит через центр масс тела, хотя по величине он всегда равен произведению массы тела на абсолютное ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

Приведение сил инерции в общем случае.

Ранее мы рассмотрели, частные случаи, когда главный момент сил инерции можно было найти непосредственно за счет ограничений на движение тела и распределение масс в теле. В общем случае такие ограничения отсутствуют.

Рассмотрим свободное твердое тело. За центр приведения выберем центр масс тела. Тогда получаем в центре масс тела главный вектор и главный момент сил инерции:

Пусть система координат Cx1y1z1 жестко связана с телом, а кенигова система координат Cx*y*z* движется поступательно совместно с центром масс так, что ее оси остаются параллельны осям инерциальной системы координат Oxyz, принятой за неподвижную (рис. 55).

Момент количеств движения твердого тела нужно вычислять в связанной с телом системе координат, тогда при движении тела его моменты инерции будут постоянны. Поэтому, применяя теорему об абсолютной производной, имеем

где KC - момент количеств движения тела в связанной с ним системе координат Cx1y1z1, а ω - вектор угловой скорости вращения тела в кениговой и инерциальной системах координат, известный в проекциях на связанные с телом оси. Записывая это выражение в координатной форме в проекциях на связанные оси, получаем

где i1, j1, k1 - единичные векторы связанной с телом системы координат. Откуда получаем проекции главного момента сил инерции на связанные с телом оси:

(19)

Подставляя в (19) значения проекций момента количеств движения тела, вычисленные для центра масс тела, можно получить формулы, определяющие главный момент сил инерции твердого тела в общем случае его движения. Самый простой вид они имеют, если осиCx1y1z1 являются главными центральными осями инерции, когда KCx1 = Jx1ωx1; KCy1 = Jy1ωy1; KCz1 = Jz1ωz1. Тогда из (19) следует, что

(20)

Из этих формул получаются все частные случаи приведения сил инерции твердого тела.

При поступательном движении ω = ωx1i1 + ωy1j1 + ωz1k1, то есть MC(Фi) = 0, силы инерции приводятся к одной силе, или равнодействующей Ф* = -MaC, проходящей через центр масс тела.

При плоском движении тела, когда все его точки двигаются параллельно плоскости, например xOy, ωx1 = 0; ωy1 = 0; ωz1 = 0. Если за центр приведения сил инерции выбран центр масс тела и тело имеет плоскость материальной симметрии x1Cy1, параллельную плоскости движения, то Jx1z1 = Jy1z1 = 0, и по формулам: KCx1 = KCy1 = 0; KCz1 = Jz1ωz1 = JCz1ω. Таким образом, по формулам (20) MCx1(Фi) = MCy1 = 0, а MCz1(Фi) = -JCz1ω' = -JCz1τ. Главный вектор сил инерции тела приложен в центре масс тела, лежит в плоскости материальной симметрии и равен Ф = -MaC по формуле (8).

Заметим, что мы ранее непосредственно находили главный момент сил инерции плоского тела в плоском движении. Общий подход к приведению сил инерции твердого тела позволил установить, что такой же результат получается и при приведении сил инерции объемных тел (цилиндров, катков, колес и т.д.), имеющих плоскость материальной симметрии, параллельную плоскости движения тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси выбираем центр приведения в точке O на неподвижной оси вращения, по которой направлена неподвижная ось z, с которой совпадает ось z1, связанная с телом. Тогда ωx1 = ωy1 = 0, а ωz1 = ω. По формулам (20) проекции главного момента сил инерции тела на связанные с телом оси выразим так:

Главный вектор сил инерции, равный по величине Ф = MaC, будет приложен в точке O, направлен противоположно aC.

Если ось вращения тела является главной осью инерции, то Jx1z1 = Jy1z1 = 0, а

Таким образом, общий подход к приведению сил инерции тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, показал, что простейший результат имеет место, когда ось вращения является главной осью инерции тела. Тогда силы инерции приводятся к главному вектору, приложенному в центре приведения, и к паре сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, момент которой направлен по оси вращения.