Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Проектирование и конструирование машин и роботов

Файл:

Конспект лекций по КМР

.pdf

Скачиваний:

454

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

19.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 659 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Рис. 4.2

i 1,i

i j

j 1

Mi Mi 1,i

Mi 1,i

Mi j Mi

j Mi j

Mi j

j 1

(4.1)

где n – число соответствующих силовых факторов, действующих на

i-е звено;

Ri 1,i

– главный вектор реактивных сил в k-й кинемати-

ческой паре, соединяющей (i–1)-е и i-е звенья. Его находят из первого уравнения системы (4.1):

(

);

i 1,i

i j

j 1

Fij

– вектор внешней j-й силы, действующей на i-е звено (реактив-

ной силы

Ri,i 1 ,

действующего

со

стороны (i+1)-го

звена на

i-е звено, веса Gi

i-го звена, веса

Giq

q-го привода или, если i-е зве-

но

последнее, силы

сопротивления

и веса

об

объекта);

– вектор j-й силы инерции, действующей на i-е звено (на рис.

4.2 – это i

и об ):

m a ;

i j

m – масса -го элемента (масса mi i-го звена, объекта mоб или q-го привода mпq); a – вектор абсолютного линейного ускорения

центра масс -го элемента в БСК So; M i 1,i – главный вектор реактивных моментов в k-й кинематической паре, соединяющей (i–1)-е

и i-е звенья, записанный в БСК So;	R	– главный момент реак-
	M i 1,i

тивных сил, действующих на i-е звено со стороны (i–1)-го звена;

F			j –
Mi j – момент внешней j-й силы, действующей на i-е звено;		Mi
момент j-й силы инерции, действующей на	M	–	j-й
	i-е звено; Mi j
внешний момент, действующий на i-е звено;	И
	Mi j – j-й инерцион-
ный момент, действующий на i-е звено, записанный в БСК So:

	M	И	L	M		Иi		L	M	ИГ	,
		И				Иi				ИГ
		i j	o i			i j		o i		i j
L	– матрица поворота БСК S				o		(матрица направляющих косину-
o i					o

сов, т.е. косинусов углов между осями БСК So и осями локальной системы координат ЛСК Si i-го звена):

	i
L	L	,
o i	t 1, t
	t 1

где Lt 1,t – матрица направляющих и t-й ЛСК:

косинусов между осями (t–1)-й

cos

sin

cos

sin

cos

sin

;

t 1,t

sin

cos

t – угол поворота (t–1)-й ЛСК вокруг оси Zi-1					до тех пор пока ось
Xt-1	не станет параллельной оси Хt t-й ЛСК;				t – угол поворота
(t–1)-й ЛСК вокруг оси Хt до совмещения всех осей обеих ЛСК;
ИЏi		–j-й инерционный момент, действующий на i-е звено, запи-
Mi j
		ИГ	– j-й инерционный момент, действующий
санный в ЛСК Si; Mi j
			г г		г
на i-е звено, записанный в главной ЛСК X i Yi				Z i (Sci) (на рис. 4.2 –

это МiИГ и МобИГ ). Такая запись правомерна, так как оси ЛСК Si и главные центральные оси ЛСК Sci выбраны параллельными.

Џ‹

на оси БСК So:

Спроецируем j-й инерционный момент Mij

ИГ‹

Mijx

xE x

(J z

y )

M ИГ‹

Г E Г

(J Г

Џ‹ИГ

J Г ) ,

ijy

ИГЏ‹

)

ijz

где	Г	Г	Г	– моменты инерции -го элемента (i-го звена, объек-
	J x, J y , J z

та, q-го привода) относительного главных центральных осей его локальной системы координат (для i-го звена – Sci, для привода и

Г	Г	Г	Г	Г	Г
объекта – Si); E x ,E y ,E z			и x, y, z – проекции векторов абсо-

лютных углового ускорения и угловой скорости -го элемента на оси

ЛСК Sсi (для звена, привода и объекта векторы их абсолютных угловых скоростей и угловых ускорений соответственно равны между собой).

Второе уравнение системы (4.1) можно записать в виде:

i 1,i

M M L

M ИГ 0,

i 1,i

i j

i j oi

i j

j 1

где

rê

– радиус-вектор центра Ск k-й кинематической пары в БСК

;

– радиус-вектор центра С

масс i-го звена (либо центра С

об

масс объекта или центра Сq масс привода) в БСК.

Заменив векторное произведение векторов произведением специальной матрицы на вектор, получим:

(r R

ИГ

i 1,i

кђ i 1,i

ci i j

i j

j 1

(4.2)

где

rк ci

– кососимметричная матрица радиус-векторов

rк

и rсi

к(ci)

(4.3)

где xк(ci), yк(ci), zк(ci) – координаты точки Ск или Сi в БСК.

Подобную матрицу

можно

записать

для

произвольной

точки

-го звена исполнительного устройства.

Перепишем главный вектор

Ri 1,i

реактивных

сил и главный

момент M i 1,i реактивных моментов,

действующих на i-е звено в

k-й кинематической паре, записанные в БСК So, в ЛСК Si:

L R

;

i 1,i

L M

i 1,i

Выберем в k-й кинематической паре локальную систему коор-

динат S

, параллельную ЛСК S

. Спроецировав

и M i

на оси

i 1,i

ЛСК Sк, получим главный вектор реактивных сил и главный момент реактивных моментов, действующие на i-е звено в ЛСК Sк:

	R			R			L	R		;
			к		i		T
M		i 1,i		i 1,i			oi	i 1,i
M				M			L	M .
		к				i	T
		i 1,i				i 1,i	oi		i 1,i

Полученные главный вектор реактивных сил и главный момент реактивных моментов, действующие на i-е звено в k-й кинематиче-

ской паре, включают в себя вектор

Qiк

обобщенной силы, направ-

ленный по оси Zi и принимающий значения:

			кz
Qк	F
		i 1,i
i			кz
	T
		i 1,i

-если k-я кинематическая пара поступательная;

-если k-я кинематическая пара вращательная.

Таким образом, в k-й поступательный кинематической паре главный вектор реактивных сил и главный вектор реактивных моментов будут равны:

кx

i 1,i

кy

;

i 1,i

кz

i 1,i

кx

i 1,i

кy

i 1,i

кz

i 1,i

В k-й вращательной кинематической паре:

(4.5)

кx

i 1,i

кy

1,i

;

i 1,i

кz

i 1,i

кx

i 1,i

кy

i 1,i

кz

i 1,i

x i 1,i

y i 1,i

z i 1,i

 .

(4.6)

Компоненты оRiкz1,i в поступательной кинематической паре и

оMiкz1,i во вращательной кинематической паре существуют только при учете сил трения. В идеальных кинематических парах они об-

ращаются в ноль, т.е.	оRкz	0 и	оM кz	0 . В итоге можно опре-
	i 1,i		i 1,i
84

делить движущие или силу Fiz1,i , или момент Tiz1,i в зависимости от

вида кинематической пары.

Для нахождения реактивных сил и моментов во всех кинематических парах исполнительного устройства робота необходимо рассмотреть равновесие каждого его подвижного звена, начиная с по-

следнего n-го. При этом найденный главный вектор

Rm n 1,n

реактив-

ных сил и главный вектор

M m n 1,n

реактивных моментов, действую-

щие на n-е звено в m-й кинематической паре, при рассмотрении равновесия (n–1)-го звена, прикладывают к этому звену, направленными в противоположные стороны по отношению к n-му звену и вычисляют реактивные силы и моменты, действующие на (n–1)-е звено в (m–1)-й кинематической паре. Аналогично поступают с остальными звеньями.

4.2. Уравнения Лагранжа 2-го рода

Для описания динамики исполнительного устройства робота наиболее часто используют уравнения Лагранжа 2-го рода :

d	T	T	П	Q	, i 1, ,N
				Q	, i 1, ,N
dt	q	q	q
	i	i	i

или, вводя функцию Лагранжа L=T–П и учитывая, что

(4.7)

уравнения Лагранжа 2-го рода можно записать в виде:

d	L	L Q		, i 1, ,N ,	(4.8)

dt q		q	iп
			i
	i

где qi – i-я обобщенная координата; Т – кинетическая энергия исполнительного устройства; П – потенциальная энергия исполнительного устройства; QiП – обобщенные силы приводов в i-й степени подвижности:

QiП = Qiд + Qic,

Qiд – обобщенные движущие силы в i-й степени подвижности; Qic – обобщенные силы сопротивления в i-й степени подвижности; QiП, Qiд и Qic имеют размерность силы (Н), если обобщенная координата qi – линейное перемещение, или момента (Н м), если qi – угол поворота.

Если в уравнении (4.7) qi перенести в правую часть, то урав-

нение Лагранжа 2-го рода примет вид:

d	T	T	Q	,
		q	Q	,
dt	q	q
	i	i

где Qi – обобщенная сила в i-й степени подвижности:

(4.9)

Qi QiÏ	Ï	QiÏ QiB,	(4.10)
Qi QiÏ	q	QiÏ QiB,	(4.10)
	q
	i

QiB	Ï	– обобщенные внешние потенциальные силы, вызван-
QiB	q	– обобщенные внешние потенциальные силы, вызван-
	q
	i

ные действием масс звеньев исполнительного устройства и объекта. При наличии технологической силы (внешней силы) FB, при-

ложенной к захватному устройству, в правую часть равенства (4.10) необходимо добавить член QiF, характеризующий это воздействие:

Qi = QiП + QiB + QiF.

(4.11)

Уравнения Лагранжа 2-го рода представляют собой систему N обыкновенных дифференциальных уравнений с N независимыми обобщенными координатами.

Кинетическая энергия исполнительного устройства робота рав-

на:

N
T Ti,	(4.12)

i 1

Ti – кинетическая энергия i-го звена. Для ее определения найдем кинетическую энергию элемента i-го звена массой dmi:

где

i – вектор скорости

i-го элемента массой dmi; ri – радиус-

вектор элемента dmi в БСК. Выразим ri через радиус-вектор rii i-го звена в i-й ЛСК:

	r
	i
Тогда	r
	i

Bi rii

Так как

где tr( ) – след

A	2	A

матрицы

dTi

Bi ri

dmi .

A trAA

и AB

A , т.е. сумма ее диагональных элементов:

tr A	N
	ii
	a	,
	i 1

то

dTi

dmi .

dmi

tr Bi ri

Интегрируя по объему Vi i-го звена, найдем его кинетическую

энергию:

(4.13)

где H

– матрица инерции i-го звена. Если вектор

записать в ви-

де

где x

y ,

– проекции вектора на оси i-й

системы координат, то:

H			r	i	r	iT	dm
H	i		r		r		dm
	i		i		i		i
		V
		i

						i					i
						2
					x dm
		V
		V	i
			i
				y		x dm
					i		i				i
	V
		i
				z		x		dm
					i		i				i
	V
	V
		i
					x		dm
					x		dm
						i				i
		Vi
J				xi					J	xyi
				xi						xyi
		J							J
		J	yxi						J		yi


J			zxi						J	zyi
			zxi							zyi
									Syi
Sxi									Syi

	x			y		dm
			i		i		i
V
i				i			i
				i			i
				2
			y dm
V
	i
	z			y		dm
			i		i		i
V
i				i			i
				i			i
			y		dm
V
	i
J	xzi					S	xi
	xzi						xi
J						S
J	yzi					S	yi
	yzi						yi
J		zi				S	zi
		zi					zi
S						m
S		zi				m
		zi					i

z dm

. (4.14)

Элементами матрицы инерции являются:

Jxi, Jyi, Jzi – осевые моменты инерции звеньев относительно осей Х, Y, Z соответственно; Jxyi=Jyxi, Jxzi=Jzxi, Jyzi=Jzyi – центробежные мо-

менты инерции звеньев; Sxi, Syi, Szi – статические моменты звеньев; mi – масса i-го звена.

Матрица инерции является симметричной матрицей, то есть

где

Hi HiT .

Кинетическая энергия всего исполнительного устройства равна:

T Ti

(4.15)

tr BiH iBi

i 1

Подставляя (3.47) в (4.15), получим:

i i

tr Bi

Hi Bi qj qk

tr Bi

H iBi qj qk , (4.16)

i 1

j 1

k 1

i 1

j 1 k 1

определяют по формуле (3.48).

и Bi

Потенциальная энергия исполнительного устройства:

	N	i			i	N	i
П		i	G	T	i		i
П		m	G	T			m
	i 1					i 1

T	B	i
T		i
	i	i

(4.17)

где mi – масса i-го звена;

- вектор центра масс i-

i xi

го звена в системе координат i-го звена;

– вектор центра масс i-

го звена в БСК; G gx

– вектор ускорения свободного

падения:

gez

- ось Z0

направлена вертикально вверх,

gez

- ось Z0

направлена вертикально вниз.

								4.3. Обобщенные силы
	Для определения обобщенных сил рассмотрим исполнительное
устройство					робота,			на	звенья которого действуют силы
						0	T	, векторы точек приложения которых в БСК
Fi	Fxi	Fyi			Fzi	0		, векторы точек приложения которых в БСК
обозначим					r	r		r	1 T , где i – номер звена исполнительно-
обозначим			r		r	r		r	1 T , где i – номер звена исполнительно-
				i	xi		yi	zi

го устройства i=1, ..., N; – номер действующей силы =1, 2, ... .

Силы Fi могут быть движущими, сопротивления (сухого и вязкого

трения), веса звеньев, технологические (от веса объекта и внешнего воздействия, приложенного к рабочему органу), инерционные, упру-

гие силы пружин, присоединенных к звеньям исполнительного устройства (например, при пружинном уравновешивании масс звеньев).

Скалярное произведение вектора силы Fi на вектор

r
r
i

малого

виртуального перемещения точки приложения силы представляет собой виртуальную работу этой силы [19]:

W	T	r	trF
	F
i	i	i	i

Для всех точек звена:

Wi			T
Wi	tr Fi	ri	.

Виртуальная работа сил для всех звеньев
устройства:
	N			T
				T
W tr Fi			ri	.
	i 1

исполнительного

(4.18)

Обозначим векторы точек приложения сил в i-й ЛСК через Тогда можно записать :

r	i
r
i

	T	Biri	i	T	ri	i	T	T
ri		Biri			ri			Bi .

Подставляя (4.19) в (4.18), получим:

tr Ф B

i 1

где Фi – матрица внешних сил:

(4.19)

(4.20)

Ф		T
Ф	F r i
i	i	i

В развернутом виде матрицу

Фi

записывают :

	F r i		F r i		F r i		F
		xi xi		xi yi		xi zi		xi
	F r i		F r i		F r i		F
Фi Fi ri	i T	yi xi		yi yi		yi zi		yi .	(4.21)
		i		i		i
	Fzirxi		Fziryi		Fzirzi		Fzi

		0		0		0	0
		0		0		0	0
									89

виде:

где

другой стороны ту же виртуальную работу можно записать в

	N
	W Qi qi ,	(4.22)
	i 1
i	– виртуальное изменение i-й обобщенной координаты qi; Qi

– i-я обобщенная сила, отнесенная к i-й обобщенной координате. Обобщенная сила представляет собой силу, действующую вдоль

оси Zi-1, если i-я кинематическая пара поступательная, или момент относительно оси Zi-1, если i-я кинематическая пара вращательная.

Приравняем выражения (4.20) и (4.22) для виртуальных работ:

N						N
		q		tr Ф			B T .
	Q	q	i	tr Ф			B T .
	i		i			i	i
i 1						i 1
Запишем вариацию матрицы преобразования								T	в виде:
Запишем вариацию матрицы преобразования								Bi	в виде:
Bi		N	B		T	qj .
Bi						qj .
	T			i
		j 1		q	i
		j 1			i

(4.23)

(4.24)

Подставив значение

BiT

из

зависимости (4.24) в выражение

	j
(4.23) и учитывая, что Bi =0 при j>i, после преобразований получим:
N	N	N	N N
		jT			iT
Qi qi tr Фi Bi qi tr				ФjBj		qi .

i 1	i 1	j 1	i 1 j i

Откуда обобщенные силы равны:

N	iT	N	T	,	i 1, ,N , (4.25)
Qi tr ФjBj		tr Фj Bi 1Di Ai Aj		,	i 1, ,N , (4.25)
j 1		j i

где

	D		D
D		i6	iп
D

i			D
	D		D
		i3	iВ

-для поступательной кинематической пары (см.3.44);

-для вращательной кинематической пары (см.3.41).

Для определения реактивных сил и моментов в кинематических парах, действующих на (i–1) звено со стороны i-го звена в формулу (4.25) вместо Di необходимо подставить Di3 , если кинематическая

пара вращательная и Di6 , если кинематическая пара поступательная, а также следующие проектирующие матрицы:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 659 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>