Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Проектирование и конструирование машин и роботов

Файл:

Конспект лекций по КМР

.pdf

Скачиваний:

454

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

19.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 658 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

где

F4 F5 F6

qqq

 

3 3 1

;

Уравнение (3.29) называют уравнением ориентации.

Вектор положения ХРТ и ориентации рабочего органа записывают в виде:

где

~	r 0
r	r 0
0

c0
	T

r	F q F q
~	~
0

q T

(3.30)

Уравнение (3.30) называют уравнением положения и ориентации рабочего органа.

Уравнения (3.28) и (3.30) называют уравнениями кинематики. В тех случаях, когда требуется определить лишь малые прира-

щения в положении и ориентации рабочего органа при малых изменениях обобщенных координат, пользуются не самими уравнениями кинематики, а их продифференцированными аналогами.

Уравнение кинематики для скоростей имеет вид:

~			d		~	q	dq
				~	F
V		~
	0	r		r
		0	dt	0	q		dt

	F q
	~	q
	q	q
	q

(3.31)

Аналогичные векторные уравнения существуют для дифференциалов:

		~		F q
		r		~		dq
		0		q
				q
и малых приращений (разностей)					q
		~		F	q
		r		~		q
		0		q
				q
где	x
~		y		z
r		y		z
0	q q
	q q			q
			1	2


q
n

T T .

;

(3.32)

(3.33)

Уравнение кинематики для ускорений записывают в виде:

dt 2

q 2

Матрицу размерности (3 n)

~
	q
F			. (3.34)
		q
	q

			F q		F	q
			1		1
			1		1
			q		q
		F q	F	1	F	2
		F q	F	q	F	q
J			2		2
J	п	q	q		q
	п

			F	1	F	2
			F	q	F	q
			3		3
			3		3
			q		q
				1		2

называют матрицей Якоби для положений. Матрицу размерности (3 n)

			F		q	F	q
				4		4
				4		4
				q		q
		F q		F	1	F	2
		F q		F	q	F	q
J				5		5
J	O	q		q		q
	O

			F		1	F	2
			F		q	F	q
				6		6
				6		6
				q		q
					1		2

называют матрицей Якоби для ориентации. Матрицу размерности (6 n)

F q
1
q
q
n
F q
2
q
n
F q
3
3
q
n
F	q
4
q
q
F	n
F	q
5
q
F	n
F	q
6
6
q
	n
	F		q
		1
	q
	q			n


	F		q
	F		q
		6
	q
	q			n
				n

называют полной матрицей Якоби уравнения кинематики.

3.7. Прямая и обратная задачи кинематики

(3.35)

(3.36)

(3.37)

Уравнения кинематики позволяют решить прямую и обратную кинематические задачи .

Прямая задача кинематики заключается в определении законов изменения координат рабочего органа (или любого звена) исполнительного устройства по известным законам изменения обобщен-

ных координат. Ее решение сводится к вычислению матрицы

Необходимость в решении прямой задачи кинематики возникает в связи с тем, что положение рабочего органа в пространстве, как правило, не может быть измерено непосредственно, в то время как обобщенные координаты определяются достаточно просто с помощью угловых или линейных датчиков перемещения.

BNAN1,

Обратная задача кинематики заключается в определении законов изменения обобщенных координат исполнительного устройства робота по известным законам изменения координат рабочего

органа, т.е. по заданной матрице

BN .

Решение обратной задачи кинематики может быть осуществлено тремя методами: алгебраическим, итеративным (численным) и геометрическим. Алгебраический метод не дает универсального алгоритма решения и для каждой конкретной кинематической схемы требует отдельного подхода. Итеративный (численный) метод требует большого числа вычислений. Геометрический эффективен, когда конструкция исполнительного устройства достаточно проста.

При решении обратной задачи кинематики алгебраическим методом исходные уравнения содержат, как правило, шесть неизвестных q1, ..., qN, N=6, так как положение рабочего органа как твердого тела в пространстве определяют шесть независимых параметров: три декартовы координаты и три угла поворота относительно трех ортогональных осей.

Шесть степеней подвижности – необходимое условие произвольного управления положением и ориентацией рабочего органа в пространстве, но не всегда достаточное. Часто при некоторых видах работ рабочему органу приходится действовать внутри некоторого частично замкнутого объема, проникая в него через узкое отверстие, в то время как исполнительное устройство находится за пределами этого объема. При этом требуется сообщать заданную ориентацию не только рабочему органу, но и некоторым предшествующим звеньям. В этом случае исполнительное устройство для повышения манипуляционной гибкости должно иметь число степеней подвижности больше шести.

Исходным уравнением для решения обратной задачи кинематики является уравнение:

A1 q1 AN qN BN r0

mN .

(3.38)

Левая часть уравнения содержит произведение матриц Ai , форма которых известна. Каждая из этих матриц зависит от одной искомой переменной – обобщенной координаты qi. Каждая из комбинаций qi представляет собой определенную конфигурацию исполнительного устройства.

В правой части уравнения – матрица ВN, ее элементы заданы составляющими векторов r0, nN, mN.

Подход к решению обратной кинематической задачи заключается в следующем. Последовательно вычисляют

B A 1A 1 , ,B A 1A 1 A 1 и находят такие элементы этих

N N N 1 N N N 1 N N 1

матриц в первых трех столбцах или их линейные комбинации, которые не зависят от искомых обобщенных координат. С другой стороны используя соотношение:

A A		1		1	,	j 1, ,N,
		B A	A
1	j	N N		j 1

вычисляют соответствующие им элементы в левой части этого равенства, в которые будут входить не более j первых искомых величин . В результате можно получить число уравнений равное числу неизвестных.

3.8. Дифференцирование матриц преобразования

Для определения линейных скоростей и ускорений произвольной точки произвольного звена исполнительного устройства робота в матричной форме, рассмотрим правило дифференцирования матриц.

Матрица Ai преобразования i-й ЛСК в (i–1)-ю ЛСК имеет вид:

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

ai ai

cos i

sin

i1S

Найдем производную матрицы Ai по обобщенной координате qi для вращательной кинематической пары ( i=f(qi)=var, Si=const):

	sin q		cos q	cos		i	cos q	sin		i
		i	i				i
A		cos q	sin q	cos			sin q	sin

i		i	i		i		i		i

q		0	0					0
i
		0	0					0

a
	i
a
i

	sin q
	i
	cos q
	cos q
	i
	0
	0
	0

. (3.39)

	Дифференцирование матрицы Ai по обобщенной координате qi
эквивалентно умножению проектирующей матрицы Di				на матрицу
Ai	[44]:
	Ai	D	A ,	(3.40)
	qi	iB	i
	qi

где DiB пары:

– проектирующая матрица вращательной кинематической

		1
	0	1	0	0
		0	0
	1	0	0	0
DiB					.	(3.41)
DiB	0	0	0	0	.	(3.41)
	0	0	0	0
		0	0
	0	0	0	0

Производная матрицы	A	по обобщенной координате q	i
	i		i

поступательной кинематической пары ( i=const, Si=f(qi)=var):

для


		0
A
A		0
q	i
q	i	0
	i

		0

Что эквивалентно
		A
		i
		q
		i

0	0
0	0
0	0

Di•


	0

	0
		.
	1	.
	1

	0

	Ai ,

(3.42)

(3.43)

где Diп пары:

– проектирующая матрица поступательной кинематической


	0	0	0	0
		0	0
	0	0	0	0
Diп					.	(3.44)
Diп	0	0	0	1	.	(3.44)
	0	0	0	1
		0	0
	0	0	0	0

Таким образом, в общем случае производная матрицы Ai по

обобщенной координате qi равна:

Ai ,

(3.45)

где

- если i-я кинематическая пара вращательная;

D iB

Diп

- если i-я кинематическая пара поступательная.

Производная матрицы Ai

по времени:

dAi

dAi qi

dqi

D A

(3.46)

i i

Найдем производную матрицы Bi

Aj :

j 1

	dBi	dBi
	dt	dBi
	dt
A A
A A
1		i 1

q1, , qi Bi					q
				i
	dt			j 1 qi			i
	dt			j 1 qi
A			D A A A

i		q				q
q		i	1	1 2	i		i
q
i
				i
				Bi
						j
				j 1

	A	A	A		q
	1	A	A		q
	1	2		i
	q	2		i	i
	q
	1
A A
A A					D A q
		1		i 1		i i i


q	j,
	j,

(3.47)

где

	B					i;
Bi			0 при j			i;
Bi		i
j	q	i						A при 1 j i,	i 1, ,N .
	q	j		A A	D		A	A при 1 j i,	i 1, ,N .
		j		1	j 1	j	j	i

Найдем производную:

(3.48)

dB j

D A

B j

j 1

k 1

D A A

A A

A q

j 1

A A

D A A

D A q

B jk

(3.49)

j 1 j i

i 1

i i i

k 1

где

q q

A A

D A A

D A A ,

k j,j i;

k 1

j 1 j

A A

k j, j i;

j 1

D A A ,

k j,j i;

j 1

k, j i.

(3.50)

3.9. Определение линейных скоростей и ускорений звеньев

Положение характеристической рабочей точки Р рабочего органа в БСК запишем в виде:


r r					, ,	q
			q				,
	op	op		1			n

где qk – значение k-й обобщенной координаты; n – число обобщенных координат.

Продифференцировав это выражение, получим вектор линейной скорости точки Р в БСК:

vop

(3.51)

qk .

k 1

В проекциях на оси БСК:

;

xop

k 1

;

(3.52)

yop

k 1

dzop

zop

qk .

k 1

Если дважды продифференцировать выражение для вектора положения точки Р получим вектор линейного ускорения характеристической рабочей точки в БСК:

k 1

k 1 S 1

(3.53)

qS .

k 1

k 1 S 1

В проекциях на оси БСК:

xop

;

k 1

k 1 S 1

(3.54)

yop

qS ;

k 1

k 1 S 1

n z

n n

zop

qS .

k 1

k 1 S 1 qk qS

Определим линейные скорости и ускорения произвольной точки i-го звена исполнительного устройства робота в матричной форме.

Положение точки М i-го звена в (i–1)-й ЛСК записывают в виде:

где


			ri 1,M			Ai 1,i r	i,M,	(3.55)
ri,M xiM	yiM	ziM	1	T	– радиус-вектор точки М в i-й ЛСК.
ri,M xiM	yiM	ziM	1		– радиус-вектор точки М в i-й ЛСК.

Линейную скорость точки М i-го звена относительно (i–1)-й ЛСК получим после дифференцирования уравнения (3.55):

v		dr	d	A	r	dA
	i 1,M	i 1,M				i 1,i r
		dt	dt	i 1,i	i,M	dt	i,M

D	A	r	q .
i	i 1,i	i,M
			i

(3.56)

В БСК положение точки М i-го звена:

	rM Bi			ri,M .
После дифференцирования найдем линейную скорость
М i-го звена в БСК:
vM	dr	dB		i
	dr	dB	i	j
	M		i	j
	dt	dt		ri,M Bi	ri,M qj .
	dt	dt		j 1
				j 1

точки

(3.57)

Линейное ускорение точки М i-го звена относительно (i–1)-й ЛСК получим, дифференцируя выражение (3.56):

	dv
a	i 1,M	D A	r
a		D A	r	q
i 1,M	dt	i i 1,i	i,M		i
	dt

D	2	A	r		2
				q
i		i 1,i	i,M		i

В БСК линейное ускорение точки М i-го звена определим, дифференцируя выражение (3.57):

i,M

j 1

q .

i,M

j 1 k 1

j 1

(3.58)

Если точка М совпадает с центром i-й кинематической пары или с характеристической рабочей точкой Р, то riM =[0 0 0 1]T.

3.10. Определение угловых скоростей и ускорений звеньев

Угловую скорость i-го звена относительно (i–1)-й ЛСК можно записать в виде вектора:

wi 1,i eZ(i - 1) i,

где eZ(i - 1) =[0 0 1 0]T – орт оси Zi-1 в (i–1)-й ЛСК.

Если обобщенную координату qi выразить через i лучим вектор относительной угловой скорости в виде:

wi 1,i i eZ(i - 1) qi ,

(3.59)

и Si, то по-

(3.60)

где

i	1	- если i-я кинематическая пара вращательная;
i
	0
		- если i-я кинематическая пара поступательная.
		- если i-я кинематическая пара поступательная.

Угловую скорость i-го звена относительно БСК можно записать в виде вектора:

	wi A-1,0		A0,1 A1,2 Ai 2,i 1	σi	eZ (i 1)			Bi-1 σi		eZ (i 1)
	wi A-1,0		A0,1 A1,2 Ai 2,i 1	σi	eZ (i 1)		qi	Bi-1 σi		eZ (i 1)	qi .
где	A-1,0	- единичная матрица:

					1	0	0	0
						1	0	0
					0	1	0	0
			A	I
			A	I					.
			-1,0		0	0	1	0
					0	0	1	0
						0	0	1
					0	0	0	1

Абсолютная угловая скорость i-го звена в БСК:

(3.61)

i	i		j
i		w	j
Ω Ω		w
	j 1

i
Bj-1	j
j 1

eZ(j-1)

q
	j
	j

(3.62)

Дифференцируя выражение (3.62), получим абсолютное угловое ускорение i-го звена в БСК:

где

Ei и

Ω	i
i	Bj-1	j eZ(j - 1)
dt			qj
	j 1

имеют тот же смысл,

i i B k j-1

j 1 k 1 что и i

j k eZ(j - 1) qj

ввыражении

	(3.63)
qk ,	(3.63)
(3.60).

Глава 4 ДИНАМИКА РОБОТОВ

4.1. Кинетостатический расчет исполнительных устройств

Кинетостатический расчет исполнительного устройства робота заключается в определении реактивных сил и моментов в кинематических парах при известных внешних нагрузках и инерционных силах и моментах. При решении задач кинетостатики используют принцип Даламбера.

Реактивные силы и моменты в кинематических парах относятся к категории внутренних по отношению к исполнительному устройству в целом; по отношению к каждому звену в отдельности они являются внешними. Знание усилий в кинематических парах необходимо для расчетов звеньев исполнительного устройства на прочность, жесткость, виброустойчивость, износостойкость, для расчетов подшипников на долговечность, а также для выбора двигателя.

На рис. 4.1 изображена структурная схема исполнительного устройства работа на которой указаны массы mi звеньев, массы mïq

приводов и массы mоб объекта манипулирования (груза), векторы

силы и

M c

момента сопротивления, а также изображены базовая

ХоYoZo(So) и локальные ХiYiZi(Si) системы координат (соответственно БСК и ЛСК).

Для i-го звена (на рис 4.2 изображено звено с рабочим органом и объектом манипулирования) исполнительного устройства робота, находящегося в равновесии, можно записать в базовой системе координат (БСК) So выражения главного вектора

Fi внешних сил и главного
момента	M i , действующих

на это звено:

Рис. 4.1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 658 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>