Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Проектирование и конструирование машин и роботов

Файл:

Конспект лекций по КМР

.pdf

Скачиваний:

441

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

19.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 657 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Рассмотрим изменение декартовых ной в ЛСК (i–1)-го звена вектором r i ЛСК i-го звена.

В общем случае переход из одной сать системой уравнений:

координат точки М, задан- (рис. 3.12), при переходе в

ЛСК к другой можно опи-

x =a x

+b ,

i-1

y =a

+b ,

i-1

z =a x

+b .

i-1

(3.1)

Запишем коэффициенты системы в виде матрицы:

i,i 1

i-1

cos

y x

cos y y

cos y z

i-1

cos

i-1

cos

i-1

cos

i-1

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

- матрица поворота (матрица направляющих косинусов) размерности 3 3. Элементы aij матрицы представляют собой косинусы углов между осями i-й и (i–1)-й ЛСК. Оси Х присвоен индекс 1, оси Y – 2, оси Z – 3. Например, элемент a23 матрицы представляет собой

косинус угла


a			y
	cos x			i-1
12		i

между осями

	, элемент a22
	, элемент a22

Y	i	и Z	i-1		,	т.е.	a
	i		i-1				23

cos y				y		и т.д.;
			i		i-1


		z
cos y			i-1
	i

 

, элемент

bi,i 1

sin

cos

- вектор переноса начала Оi-1 (i–1)-й ЛСК в начало Оi i-й ЛСК. Элементы bi столбца представляют собой перемещения начала Оi-1 (i–1)-й ЛСК по осям i-й ЛСК: b1 – перемещение по оси Хi, b2

– по оси Yi, b3 – по оси Zi. «Т» – знак, означающий транспонирование матрицы;

	x		i

r i		y
			i

	z		i

		x			i

r i 1				y
					i

		z			i

	x		i	y		i
			i			i
1		x
1		x			i 1
1					i 1

1

T	– радиус-вектор точки М в i-й ЛСК;
zi
yi 1	T	– вектор точки М в (i–1)-й ЛСК.
	zi 1

Таким образом, переход из (i–1)-й ЛСК в i-ю можно записать в матричной форме:

r i

Ai,i 1

r i 1

bi,i 1 .

(3.2)

Для исполнительного устройства робота наиболее важен переход из i-й ЛСК в (i–1)-ю. Из зависимости (3.2) запишем:

		A	r i 1 r
		i,i 1
или
		i 1 A 1			i
	r	i 1 A 1		r	i
			i,i 1

i bi,i

Ai,i1 1

1 .

bi,i 1 .

Так как матрица

Ai,i 1

ортогональная, то


					cos
							i
A	1	A	T	A		sin
A		A		A		sin	i
i,i 1		i,i 1		i 1,i			i
						0

Вектор переноса:

A	1	bi,i 1

i,i 1

sin

cos

sin

cos i

sin i

cos i sin i

. (3.3)

sin

cos

bi 1,i

ai sin i

(3.4)

Следовательно, переход из i-й ЛСК в (i–1)-ю можно записать в виде:

Ai 1,i

i 1,i .

r i 1

(3.5)

Переход из i-й ЛСК в (i–2)-ю:

i 2 Ai 2,i 1

i 1

i 2,i 1

r i A

bi 1,i

bi 2,i 1

r i bi 2,i ,

i 2,i

i 1,i

i 2,i 1

i 2,i

где Ai 2,i - матрица перехода из i-й ЛСК в (i–2)-ю:

Ai 2,i

Ai 2,i 1

Ai 1,i

bi 2,i – вектор переноса начала Оi i-й ЛСК в начало Оi-2 (i–2)-й ЛСК:

bi 2,i

Ai 2,i 1

bi 1,i

bi 2,i 1 .

Поступая аналогично найдем координаты вектора

r 0	A0,i r i	b0,i ,
где
		i
A0,i A0,1 A1,2	... Ai 1,i	Aj 1,j ,
		j 1

r i

в БСК:

(3.6)

(3.7)

b0,i A0,1

A1,2

... Aj 2,j 1 b j ,

j 1

cos j

sin j

cos j

sin j sin j

Aj 1,j

cos j cos j

sin j

cos j sin j

sin j

cos j

cos

b j

aj sin j

S j

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Применение двух операций преобразования – поворота и переноса – при переходе от одной ЛСК к другой не всегда является удобным. Поэтому наряду с декартовыми координатами для описания кинематики исполнительных устройств робота нашли применение однородные координаты.

3.4. Однородные координаты

Положение точки М в трехмерном пространстве можно описать четырьмя числами x1, x2, x3, x4, которые не все одновременно равны нулю, связанные с декартовыми координатами Х, Y, Z равенствами [44]:

x	x1	;	y	x2	;	z	x3	(3.11)
	x4			x4			x4

и называемые однородными координатами проективного пространства. Без ограничения общности всегда можно принять x4=1.

Тогда любой вектор r трехмерного пространства можно записать в виде:

	x	y z 1 T .
r			(3.12)

Если же x4=0, то нельзя указать точку в трехмерном пространстве, для которой числа x1, x2, x3, 0 были бы ее однородными координатами. В этом случае говорят о бесконечно удаленной точке

пространства в направлении вектора

x x		x		T
	2		3
1

Следовательно, точки с координатами [1 0 0 0]T, [0 1 0 0]T, [0 0 1 0]T представляют собой удаленные точки в направлении осей OX, OY, OZ соответственно. Точка [0 0 0 1]T является началом системы координат.

3.5. Преобразования однородных координат

Переход из одной декартовой системы координат к другой описывают системой уравнений (3.1). Заменяя декартовы координаты (i–1)-й и i-й систем координат однородными координатами

i,1

; yi

i,2

;

i,3

;

i,4

xi 1

i 1,1

;

yi 1

i 1,2

;

zi 1

i 1,3

;

i 1,4

систему уравнений (3.1) можно записать в виде:

a11

i 1,1

a12

i 1,2

a13

i 1,3

;

i 1,4

a21

i 1,1

a22

i 1,2

a23

i 1,3

;

i 1,4

xi 1,1

xi 1,2

xi 1,3

b .

xi4

31 xi 1,4

32 xi 1,4

33 xi 1,4

Так как координаты xi1, xi2, xi3, xi4 всегда можно умножить на одно и то же число, то положив xi4=xi-1,4, получим:

xi1	a11xi 1,1	a12xi 1,2	a13xi 1,3	b1xi4 ;
xi2	a21xi 1,1 a22xi 1,2 a23xi 1,3 b2xi4 ;
xi3	a31xi 1,1	a32xi 1,2	a33xi 1,3	b3xi4 ;

xi4=xi–1,4.

В матричном виде:

	i Ai,i 1			i 1 ,
r			r		(3.13)

где

r i	x	i1	x	i2
		i1		i2

Ai,i 1

	x
	i3
	a
		11

	a
		21
	a
		31


		0
		0

1	T	;

a
	12
a
	22
a
	32

	0

r i 1	x	i 1,1	x	i 1,2
		i 1,1		i 1,2
a	b
13	1
a	b		Li,i 1
a	b		Li,i 1
23	2
a	b
33	3

				0

0	1
0	1

x	i 1,3	1
	i 1,3
bi,i 1



	1

;

(3.14)

представляет собой блочную матрицу 4 4, состоящую из четырех матриц: матрицы Li,i 1 размера 3 3 (матрицы направляющих косинусов), элементы aij которой представляют собой направляющие косинусы углов между осями i-й и (i–1)-й ЛСК, матрицы bi,i 1 размерности 3 1, единичной матрицы размера 1 1 и нулевой матрицы размера 1 3. Таким образом, преобразование однородных координат определяется одной матрицей Ai,i 1 , которая может быть

представлена в виде произведения четырех матриц:

i,i 1

cos

sin

sin cos

cos cos

sin

cos

sin

cos

Si sin i

Si cos i 1

    

(3.15)

где


A	1
i,i	1

– матрица поворота (i–1)-й ЛСК вокруг оси Zi-1 на угол :

	cos i		sin i	0	0

A	sin i		cos i	0	0 ;
i,i 1		0	0	1	0

		0	0	0
					1

S
A	1
i,i	1

- матрица переноса (i–1)-й ЛСК вдоль оси Zi-1

на величину Si:


	1	0	0
		1	0
AS	0	1	0
AS
i,i 1	0	0	1
	0	0	1
		0	0
	0	0	0

	0
	0
	0

	S
		i
	1
	1

;

Ai,ia 1 – матрица переноса (i–1)-й ЛСК вдоль оси Хi на величину ai:

A i,i 1

				a
	1	0	0	a
				i
		1	0	0
a	0	1	0	0
a					.
Ai,i 1	0	0	1	0	.
	0	0	1	0
		0	0	1
	0	0	0	1

– матрица поворота (i–1)-й ЛСК вокруг оси Хi на угол i:


	1	0			0			0
		cos			sin
	0	cos			sin			0
			i			i			.
Ai,i 1	0	sin			cos			0	.
	0	sin		i	cos		i	0
				i			i
		0			0
	0	0			0			1

Обратная матрица может быть вычислена по формуле [18]:

				T
			Li,i 1
	1	A
A	1
A
i,i 1		i 1,i
				0
				0

	T	bi,i 1
	Li,i 1	bi,i 1


	1
	1

(3.16)

где

Переход из i-й ЛСК в (i–1)-ю можно записать в виде:

	r i 1	1	r i Ai 1,i		r i ,
	r i 1	Ai,i 1	r i Ai 1,i		r i ,
Ai 1,i	– матрица перехода из i-й ЛСК в (i–1)-ю:
		T		T	bi,i 1
	A	Li,i 1		Li,i 1	bi,i 1
	A
	i 1,i
				1
		0		1

(3.17)


cos
		i
	sin
	sin	i
		i
	0

	0

sin

cos

sin

cos

sin

cos

ai cos i

ai sin i

    

(3.18)

Эту матрицу можно представить в виде произведения четырех матриц, соответствующих четырем элементарным движениям:

	Ai 1,i
где
	cos i

	sin i
Ai 1,i		0
		0
		0

Ai,i1 1 Ai 1,i AiS 1,i Aia 1,i Ai 1,i ,

sin i	0	0		1	0	0	0
cos i
cos i	0	0 ;	AS	0	1	0	0
0	1	0	i 1,i	0 0 1 Si
0	1	0		0 0 1 Si
0	0				0	0	1
0	0	1		0	0	0	1


		1	0	0
			1	0
A		0	1	0
A	a
i 1,i		0	0	1
		0	0	1
			0	0
		0	0	0

	a
	i
	0
	0

	0
	1
	1

;


	1	0			0			0
		cos			sin
A	0	cos			sin			0
A				i			i
i 1,i	0	sin			cos			0
	0	sin	i		cos	i		0
			i			i
		0			0
	0	0			0			1

Переход из i-й ЛСК в (i–2)-ю осуществляют по формуле:

r i 2	A	1	r i 1	A	1	A	r i ,
	i 2,i	1		i 2,i	1	i 1,i

где Аi-2,i-1 – матрица перехода из (i–1)-й ЛСК в (i–2)- ю, определяемая по формуле (3.18).

Производя аналогичные действия можно получить уравнения преобразования i-й ЛСК в БСК, связанную со стойкой исполнительного устройства робота:

r 0

B0,i

r i ,

где B0,i – матрица перехода из i-й ЛСК в БСК:

				i
B	A	A	... A		A	j 1,j
0,i	0,1	1,2	i 1,i			j 1,j
				j 1

(3.19)

(3.20)

В дальнейшем при переходе из i-й ЛСК в БСК индекс «0» в матрицах перехода опущен.

Уравнение (3.19) устанавливает зависимость между обобщенными координатами произвольной точки исполнительного устройства робота и ее однородными координатами. Оно позволяет решить две задачи кинематики: прямую и обратную.

3.6. Уравнения кинематики исполнительного устройства робота

Уравнения кинематики исполнительного устройства робота устанавливают связь между взаимным положением звеньев исполнительного устройства, их линейными и угловыми скоростями и ускорениями как в относительном, так и в абсолютном движении и

обобщенными координатами q1, ..., qN, обобщенными скоростями

q1, , qN

и обобщенными ускорениями q1, , qN .

Соотношения между координатами центра рабочего органа и

обобщенными координатами можно записать в виде:

в системе декартовых координат:

0 AN q1, ,qN

N q1, ,qN ,

(3.21)

в системе однородных координат:

0 BN q1, ,qN

(3.22)

где

, , q

j 1, j

j 1

,...,q

j 1

Aj 1, j q j .

j 1

Уравнения (3.21) и (3.22) представляют собой векторные уравнения кинематики исполнительного устройства робота, определяющие положение и ориентацию рабочего органа в пространстве.

Вдальнейших расчетах будем пользоваться только системой однородных координат.

Всистеме однородных координат положение и ориентацию ра-

бочего органа полностью определяет матрица BN :

cos x

cos y

cos z

cos x

cos y

cos z

BN Aj 1,j

, (3.23)

j 1

cos x

cos y

cos z

где матрица 3 3 представляет собой матрицу направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между соответствующими осями БСК и

– угол между осью Z

ЛСК рабочего органа. Например, cos

БСК

осью

YN ЛСК рабочего

органа.

Элементы столбца

представляют собой перемещения начала О

БСК

по осям N-й ЛСК: b1 – перемещение по оси ХN , b2 – по оси YN, b3

– по оси ZN.
Вектор начала ОN ЛСК рабочего органа записывают						в виде
r N =[0 0 0 1]T. Тогда положение ХРТ рабочего органа в БСК может
быть определено радиус-вектором:
		0	b
				1

		0	b
r 0	BN r N BN			2		(3.24)
r 0	BN r N BN	0	b		,	(3.24)
		0	b
				3
				1
		1		1

где

r	0			x	0	y	0	z	0		T
										1

– радиус-вектор ХРТ в БСК; x0, y0, z0 –

проекции вектора r 0

на оси БСК О0Х0, О0Y0, О0Z0 соответственно.

Выберем оси ЛСК рабочего органа так, чтобы ось ZN была направлена вдоль его продольной оси, оси ХN и YN – в соответствии с указанным выше правилом. Кроме того, оси ЛСК рабочего органа будем трактовать как единичные и взаимно ортогональные

векторы	nN eZN	=[0 0 1 0]T,	mN eXN =[1 0 0 0]T и
nN mN	eYN	=[0 1 0 0]T, задающие ориентацию рабочего

органа.

Тогда положение оси ZN относительно осей БСК можно записать в виде:


	0

B	0
B
	N
	1

	0

					0
		z	N	x
cos



		z		y
	cos		N		0





		z		z
	cos		N		0


		0

(3.25)

где	n	n	n	n	0	T	– вектор ориентации оси Z		относи-
								N
	N	Nx	Ny	Nz

тельно осей БСК.

Положение оси XN относительно осей БСК определяют вектором:


				cos xNx0
			1

	B		0	cos xN y0		,	(3.26)
m	B	N	0	cos xN y0		,	(3.26)
N		N	0
			0

			0	cos xNz0

					0
					0

где m	m	m	m	0	T	– вектор ориентации оси X		относи-
							N
N	Nx	Ny	Nz

тельно осей БСК.

Положение оси YN относительно осей БСК можно определить вектором:

где

n	m
N	N

n	m	n	m
N	N	N	N x

							0
				y	N	x	0
		cos		y		x

	0

	1			y		y
BN			cos	y	N	y	0	,
					N		0
	0



				y		z
	0		cos	y	N	z	0

				0
				0

n	m	n	m
N	N y	N	N z

0 T

(3.27)

– вектор ори-

ентации оси YN относительно осей БСК.

Векторы

r0, nN и

полностью определяют положение

ентацию рабочего органа в пространстве.		F q
Обозначим радиус-вектор ХРТ рабочего органа	r0	F q

и ори-

а его

проекции на оси БСК

x0 F1

;

y0 F2

;

z0 F3

Тогда вектор положения ХРТ в БСК можно записать в виде

[17]:

F q F1 q

F2 q

r 0

(3.28)

r 0

; F1

q 1 BN q 4

; F2

q 2 BN q

4 b2

где

x0 y0z01

;

q q1,

q2,

;

Уравнение (3.28) называют уравнением положений.

Вектор ориентации рабочего органа записывают в виде [17]:

cos x

cos

где и – углы между осью Z0

и осями ХN и YN соответственно; –

угол между осями Х0 и ХN.

Обозначим:

c0 F

; nNy

F5 q ; mNx F6 q .

q ; nNx F4 q

Тогда вектор ориентации рабочего органа в БСК записывают в

виде:

F4 q

F5 q

F6 q

1 ,

(3.29)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 657 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>