Конспект лекций по КМР

Для определения деформации i-го звена постоянного или переменного поперечного сечения в общем случае нагружения используют формулу Мора [45]:

соответственно от внешней нагрузки и единичной силы или еди-

ных сил на i-м звене соответственно от внешней нагрузки и еди-

речных сил на i-м звене соответственно от внешней нагрузки и

кость поперечного сечения i-го звена при изгибе в двух плоскостях, кручении, растяжении (сжатии) и сдвиге соответственно; Еi – модуль упругости первого рода материала i-го звена; Gi – модуль упругости второго рода материала i-го звена; Jxi, Jyi, JKi – осевые моменты инерции поперечного сечения i-го звена при изгибе в двух плоскостях и кручении соответственно; Аi – площадь поперечного сечения i-го звена; Кxi, Кyi – коэффициенты, зависящие от формы поперечного сечения i-го звена. Для сплошного круглого сечения Кx=Кy=1,1; для прямоугольного сечения Кx=Кy=1,2; для тонкостенного круглого профиля Кx=Кy=2; для двутаврового профиля Кx=Кy=2,0...2,4; i – длина i-го звена; n – число звеньев исполни-

тельного устройства. В практических расчетах можно пренебречь влиянием нормальных и поперечных сил.

Эта формула применима для вычисления перемещений в системах, состоящих как из прямых звеньев так и из звеньев малой кривизны (звеньев, для которых отношение радиуса кривизны их

оси к высоте h поперечного сечения не менее двух, т.е. h 2).

В случае, когда оси звеньев прямолинейны и жесткости поперечных сечений в пределах отдельных участков постоянны, перемещения целесообразно определять по правилу Верещагина:

130

изгибающих и крутящих моментов, растягивающей (сжимающей) силы в пределах участка i-го звена с постоянной жесткостью;

бающих и крутящих моментов, растягивающей (сжимающей) силы в пределах участка i-го звена с постоянной жесткостью, под центром тяжести нелинейных эпюр.

ний, предъявляемых к конструкции исполнительного устройства, и задается конструктором. Допускаемое перемещение рабочего органа исполнительного устройства равно:

где [ ] – допускаемая погрешность позиционирования исполнительного устройства; max – максимальная погрешность позиционирования исполнительного устройства; n – коэффициент запаса, учитывающий тип и упругие свойства преобразователей движения приводов, кинематические погрешности, мертвый ход, погрешности ввода обобщенных координат, тип направляющих. Величина коэффициента запаса может колебаться в довольно широком диапазоне и зависит от типа робота, его конструкции, грузоподъемности, наличия механизмов выборки мертвого хода и т.д. Поэтому приближенно можно принимать n=2,0...3,5 и более.

6.2. Податливость преобразователей движения

Передачу движения от двигателя к функциональному звену исполнительного устройства осуществляют посредством преобразователей движения, которые состоят из отдельных элементов: валов, зубчатых колес, винтов и т.д. Они не являются абсолютно жесткими и под действием нагрузок деформируются. Вследствие этого законы движения функциональных звеньев отличаются от программных, задаваемых двигателями. Податливости элементов преобразователей движения имеют различные значения.

Податливость вала, работающего на кручение, рад/Н∙мм:

131

где – угол поворота одного поперечного сечения вала относительно другого, рад, отстоящих друг от друга на расстояние , мм;

Т – крутящий момент, Н мм; G – модуль упругости второго рода материала вала, МПа. Для стали G=8,1 104 МПа; Jp – полярный момент инерции поперечного сечения вала, мм4. Для сплошного вала:

где rw – радиус начальной окружности ведущего колеса, мм; b – ширина венца зубчатого колеса, мм; КM – коэффициент, учитывающий материал зубчатых колес. Для стальных колес КM=145 102 МПа.

Податливость шпоночных и шлицевых соединений, рад/Н∙мм:

где d – диаметр вала, мм; – длина шпонки (шлица), мм; h – высота шпонки (шлица), мм; Z – число шпонок (шлицев); Кш – коэффициент, учитывающий тип соединения и тип шпонки, мм3/Н:

– длина стержня, мм; Е – модуль упругости первого рода материала стержня, МПа. Для стального стержня Е=(2,0...2,2) 105 МПа;

А– площадь поперечного сечения стержня, мм2. Податливость резьбового соединения, мм/Н:

132

действующая на виток резьбы, Н; А – площадь витка резьбы, мм2:

d – наружный диаметр резьбы, мм; d3 – внутренний диаметр резьбы, мм; K ð – коэффициент, учитывающий материал резьбового

соединения. Для стали K ð =(0,5...1,0) 10-3 мм3/Н. Податливость соединения винт-гайка качения, мм/Н:

где h – деформация столба воздуха (жидкости), мм; F – внешняя осевая сила, Н; h – высота столба воздуха (жидкости), мм; А – площадь поперечного сечения столба воздуха (жидкости), мм2;

Р– давление столба воздуха (жидкости), МПа.

Впреобразователях движения упругие элементы могут быть соединены параллельно и последовательно. В этом случае определяют приведенную податливость.

При параллельном соединении упругих элементов приведенную податливость еп определяют из условия равенства потенциальной энергии до и после приведения, причем учитывают, что в этом

133

случае деформации всех элементов кинематической цепи равны между собой (рис. 6.1, а, б). С учетом этого условия получим [25]:

где х – деформация, общая для всех элементов; еi – податливость i-го упругого элемента; n – число элементов. Отсюда для параллельного соединения упругих элементов имеем значение приведенной податливости:

Обратная величина податливости представляет собой жесткость:

После приведения податливостей получаем одномассовую динамическую модель (рис. 6.1, б), в которой на звено приведения массой m действует упругий элемент с податливостью e .

При последовательном соединении упругих элементов (рис. 6.1,в) их общая деформация равна:

Из условия равенства силы деформации, передаваемой от одного элемента к другому, можно записать:

С учетом этих условий равенство (6.12) примет вид:

n

F e F ei .

i 1

В результате получим значение приведенной податливости:

i 1

134

Следовательно, при последовательном соединении упругих элементов, передающих одну и ту же силу деформации F, приведенная податливость равна сумме податливостей отдельных элементов.

Врезультате получим одномассовую динамическую модель (рис. 6.1, б), аналогичную модели, полученной в случае параллельного соединения упругих элементов.

Определение приведенной податливости по формуле (6.13) оказывается неправомерным, если последовательно соединенные упругие элементы считают обладающими массой, так как в этом случае силы, передаваемые от одного элемента к другому, зависят от сил инерции, которые могут быть различны для различных элементов.

Впреобразователях движения приводов исполнительных устройств роботов последовательное соединение упругих элементов встречается при рассмотрении зубчатых механизмов с упругими валами и упругими зубчатыми колесами (рис. 6.2, а), для которых податливости находят по формулам (6.4) и (6.5) соответственно. В этом случае формулу (6.13) непосредственно применять нельзя, так как вращающий момент при переходе от одного вала к другому сохраняет свою величину только при передаточном отношении, рав-

ном единице. В общем же случае вращающие моменты Тi и Тj для пары зубчатых колес i и j связаны с передаточным отношением этой пары соотношением:

135

Если приводить податливости к последнему n упругому элементу, то условие (6.14) для рассматриваемого случая примет вид:

щающим моментом Тi, действующим на него, соотношением:

Кроме того, по условию приведения податливостей к звену n,

Приравнивая правые части уравнений (6.18) и (6.19), получим приведенную податливость последовательно соединенных упругих валов:

Аналогично можно получить приведенную податливость последовательно соединенных зубчатых передач (рис. 6.2, а):

где еj – податливость j-й зубчатой передачи; m – число зубчатых передач.

136

Полная приведенная податливость зубчатого механизма с последовательно соединенными упругими валами и упругими зубчатыми колесами имеет вид (рис. 6.2, б):

Следовательно, в выражении (6.22) каждый предыдущий (i–1) член меньше каждого последующего i члена приблизительно в 10 раз. Тогда приближенно приведенную податливость зубчатого механизма можно принимать равной:

Таким образом, приведенная податливость зубчатого механизма представляет собой суммарную податливость элементов его последней ступени (последней зубчатой передачи и выходного вала).

Динамическая модель зубчатого механизма может быть представлена в виде двух масс с приведенными моментами инерции J Д

ведения (рис. 6.2, б).

Замена зубчатого механизма двухмассовой динамической моделью с приведенной податливостью одного упругого элемента возможна лишь при условии, что моменты инерции зубчатых колес малы по сравнению с приведенными моментами инерции J Д и

J M .

137

Глава 7 ПОГРЕШНОСТЬ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ РОБОТА

Движение реального механизма всегда отличается от движения теоретического (идеального) механизма. Это характерно и для исполнительных устройств роботов. При выполнении технологической операции действительное движение рабочего органа отличается от расчетного. Его положение, скорость и ускорение в любой точке реализуемой им траектории в общем случае могут не совпадать с расчетными. Разность между действительным и расчетным положениями рабочего органа называют погрешностью позиционирования исполнительного устройства робота. Основными причинами возникновения погрешности позиционирования являются первичные ошибки и погрешности обобщенных координат.

7.1. Первичные ошибки

Первичными ошибками (ПО) будем называть отклонения линейных и угловых размеров звеньев от заданных значений.

На рис. 7.1,а,б показаны линейные первичные ошибки , на рис. 7.2 – линейная и угловые первичные ошибки.

Вектор первичной ошибки i-го звена можно представить в виде:

i – погрешность линейного параметра (длины) i-го звена;

i - вектор угловых погрешностей i-го звена:

Для m-звенного исполнитель- Рис.7.1 ного устройства робота вектор по-

грешностей линейных параметров (длин) звеньев записывают в виде:

138

Первичные ошибки возникают при изготовлении деталей звеньев (технологические первичные ошибки) и в процессе эксплуатации исполнительного устройства (температурные, силовые и износные ПО). В результате наличия этих ошибок фактические размеры звеньев, определяющие положения рабочего органа в пространстве, отличаются от идеальных, на основании которых составлены расчетные алгоритмы и действительное положение рабочего органа отличается от расчетного. Решающую роль в образовании первичных ошибок играют технологические первичные ошибки. На величину первичных ошибок имеются специальные стандарты, ограничивающие их максимальные значения

(табл. 7.1 и 7.2).

Результат действия каждой первичной ошибки на величину погрешности позиционирования рабочего органа робота можно определить независимо от действия других первичных ошибок. Значение результирующей погрешности позиционирования вычисляют в соответствии с принципом суперпозиции.

Первичные ошибки делят на систематические и случайные, скалярные и векторные.

Систематическими называют ошибки, которые во всех деталях данной партии остаются постоянными. Причины возникновения систематических ошибок могут быть обнаружены и устранены.

Случайными называют ошибки, которые во всех деталях данной партии имеют различные значения. Они возникают при действии многочисленных, не поддающихся учету причин, связанных с оборудованием, инструментом, качеством материала, состоянием внешней среды и квалификацией рабочего. Под влиянием этих факторов происходит рассеивание действительных размеров относительно номинальных.

Скалярные первичные ошибки относят к параметрам звена, имеющим определенное номинальное значение (например, ошибка

139