Конспект лекций по КМР

При этом для вращательной кинематической пары найдем реактивные силы Rx, Ry, Rz, действующие вдоль осей Хi-1, Yi-1, Zi-1, а также реактивные моменты Мx и Мy, действующие относительно осей Хi-1 и Yi-1. Для поступательной кинематической пары таким образом могут быть определены реактивные силы Rx и Ry, действующие вдоль осей Хi-1 и Yi-1, а также реактивные моменты Мx, Мy и Мz, действующие относительно осей Хi-1, Yi-1 и Zi-1.

Таким образом, шесть чисел:

определяют пять составляющих реакций в кинематической паре пятого класса в проекции на оси (i–1) системы координат и одну обобщенную силу Qi , отнесенную к координате qi. При К=1,2,3 эта формула дает моменты относительно осей Хi-1, Yi-1, Zi-1 соответственно, а при К=4,5,6 – проекции сил на те же оси. Обобщенная сила в этом случае равна:

Вычислить обобщенные силы можно также по формуле [19]:

ставляющих реакций в кинематической паре определяют аналогично формуле (4.27) по зависимости:

началу системы координат (i–1) звена.

Таким образом, зависимости (4.25) и (4.28) дают возможность выполнить силовой анализ исполнительного устройства робота. Он может быть как статическим, если в матрицы внешних сил Фi вхо-

дят только статические силы, например, силы тяжести, так и динамическим (кинетостатическим), если в эти матрицы включены также и инерционные силы.

Записать матрицу внешних сил от действия только сил тяжести звеньев и объекта можно в следующем виде:

92

4.4. Уравнения движения исполнительного устройства

Как было указано выше, для описания динамики исполнительного устройства робота наиболее часто используют уравнения Лагранжа 2-го рода:

Найдем производную потенциальной энергии по обобщенной координате. Используя соотношение (4.17), можно записать:

Определим производную от кинетической энергии по обобщенной координате:

звена и от обобщенной координаты не зависит, поэтому:

Для дальнейших преобразований воспользуемся следующими свойствами матриц:

1. След матрицы не меняется при транспонировании: trA trAT .

2.Матрица инерции симметричная: H H T .

3.Из первых двух свойств следует:

93

так как порядок суммирования по j и K безразличен. Подставляя (4.34) в (4.33), окончательно получим:

Производная от кинетической энергии по обобщенной скорости равна:

Дифференцирование полученного выражения по времени дает следующее выражение:

Подставляя выражения (4.32), (4.35) и (4.37) в уравнение Лагранжа (4.7) и меняя индексы в третьем слагаемом с i на k, получим уравнения движения исполнительного устройства робота:

Последнее слагаемое в полученных уравнениях (4.38) представляет собой внешние силы, действующие на исполнительное устройство, под которыми при выводе уравнений движения подразумевались только силы тяжести.

Если же на исполнительное устройство действуют и другие внешние силы, то это слагаемое записывают в виде:

94

радиус-вектор точки приложения внешней силы.

Таким образом, окончательно уравнения движения исполнительного устройства робота записывают в виде:

Уравнения (4.41) представляют собой систему N нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Запишем эти уравнения в более компактном матричном виде:

В развернутом виде это матричное уравнение выглядит следующим образом:

Таким образом, уравнение (4.42) описывает динамику исполнительного устройства робота, имеющего разомкнутую кинематическую цепь с кинематическими парами 5-го класса. В этом уравнении матрица-функция A q характеризует инерционные свойства

95

исполнительного устройства и зависит от конструктивных параметров звеньев и обобщенных координат.

B q,q представляет собой вектор-функцию кориолисовых и центробежных сил и зависит от конструктивных параметров звеньев и обобщенных координат и скоростей. Вектор-функция F q явля-

т.е. вектор сил и моментов приводов степеней подвижности. Уравнения (4.42) представляют собой идеализированную модель

динамики исполнительного устройства. При выводе этих уравнений не учитывались силы сухого и вязкого трения в кинематических парах, моменты инерции роторов двигателей, гироскопические моменты, возникающие при перемещении вращающихся роторов, наличие люфтов и других нелинейностей. Все эти составляющие могут оказать существенное влияние на динамику, особенно силы трения и люфты.

96

где [ ]р – допускаемое напряжение при растяжении, МПа; [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. Для пластичных материалов [n] представляет собой нормативный коэффициент запаса прочности по текучести [nт]=1,2...1,5; для хрупких материалов – по пределу прочности [nв]=2,5...4; пред – предельное напряжение, при достижении которого рабочими напряжениями нарушается работоспособность конструкции (происходит разрушение, недопустимая пластическая деформация).

Для пластичных материалов при вязком разрушении предельным напряжением является предел текучести т материала, для хрупких – предел прочности в; экв – эквивалентное напряжение, МПа.

При совместном действии нормальных и касательных напряжений эквивалентное напряжение рассчитывают по гипотезам прочности.

Гипотеза прочности наибольших касательных напряжений (Кулона):

где - нормальное напряжение, МПа, в поперечном сечении звена. При растяжении (сжатии):

N – нормальная сила в поперечном сечении звена, Н ; А – площадь поперечного сечения, мм2.

Мu – изгибающий момент в поперечном сечении звена, H мм; Wu

– момент сопротивления сечения изгибу, мм3;– касательное напряжение, МПа, в поперечном сечении звена:

Тk – крутящий момент, Н мм; Wk – момент сопротивления сечения кручению, мм3.

Для некоторых сечений моменты сопротивления изгибу Wx и Wy относительно осей X и Y и кручению WK относительно оси Z приведены в табл. 5.1.

99