Математический анализ
.docxМатематический анализ (П семестр).
Вопросы для подготовки к экзамену.
1.Теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ферма. Геометрический смысл.
2. Теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ролля. Геометрический смысл.
3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Лагранжа. Геометрический смысл.
4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Коши. Геометрический смысл.
5.
Правило Лопиталя - Бернулли. Раскрытие
неопределенностей
6.Формула Тейлора.
7.
Формула Маклорена для функций
8.Исследование функций и построение графиков.
9. Возрастание и убывание функции. Стационарные точки. Точки экстремума.
10.Необходимое условие экстремума.
11.Достаточное условие экстремума непрерывной функции.
12.Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке.
13.Направление выпуклости функции. Точки перегиба.
14. Достаточное условие точки перегиба.
15.Асимптоты: вертикальные, наклонные, горизонтальные.
16.Построение графиков функций с полным исследованием.
17.Первообразная и неопределенный интеграл.
18.Свойства неопределенного интеграла.
19.Таблица основных неопределенных интегралов.
20. Метод замены переменной. Метод подведения под знак дифференциала.
21. Метод замены переменной. Метод подстановки.
22.Метод интегрирования по частям.
23.Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование простейших дробей.
24.Интегрирование тригонометрических функций.
25. Интегрирование иррациональных функций. Основные замены и подстановки.
26.Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
27.Верхние и нижние суммы Дарбу.
28.Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке.
29.Теорема об интегрировании функции на отрезке с переменным верхним пределом.
30.Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
31.Свойства определенного интеграла.
32.Теорема об оценке определенного интеграла.
33.Обобщенная теорема об оценке определенного интеграла.
34.Теорема о среднем значении.
35.Обобщенная теорема о среднем значении.
36.Замена переменной в определенном интеграле.
37. Формула интегрирования пол частям в определенном интеграле.
38.Несобственный интеграл.
39.Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов.
40.Интеграл от неограниченной функции.
41.Геометрические приложения определенных интегралов. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции заданной в декартовой системе координат, в полярной системе координат и параметрически.
42.Длина дуги кривой заданной в декартовой системе координат, в полярной системе координат и параметрически.
43.Площадь поверхности вращения заданной в декартовой системе координат, в полярной системе координат и параметрически.
44.Объем тела, полученного вращение вокруг оси.
45.Приложения определенного интеграла к решению задач механики и физики.
46.Моменты и центры масс плоских кривых. Теорем Гульдена.
47.Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, основные понятия.
Определения: расстояние между двумя точками, график функции, область значений.
48.Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
49.Частные производные. Уравнения в частных производных: уравнение колебания струны, уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа.
50.Дифференциал функции и его применение.
51.Приложения частных производных.
52.Экстремум функции нескольких переменных.
53.Геометрические приложения частных производных.
54.Кратные интегралы.
55.Двойные интегралы. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах.
56.Замена переменной в двойном интеграле.
57.Приложения двойных интегралов.
58.Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах.
59.Приложения тройных интегралов.