§10. Потенциальная энергия.

Как было отмечено, потенциальная энергия – это величина, показывающая, какую работу может совершить механическая система. Причем эта работа связана с массой и скоростью материальной точки. Другой тип механической энергии – это потенциальная энергия. Она менее универсальна, чем кинетическая энергия и проявляется не всегда. Одна из важных особенностей потенциальной энергии состоит в том, что она всегда определяется с точностью до произвольной постоянной. Работа, которую совершает система с потенциальной энергией, равна разности потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях. Приведем несколько примеров.

Пусть материальная точка массой mнаходится на высотеhнад горизонтальной поверхностью. Тогда говорят, что её потенциальная энергия равна, гдеg– ускорение свободного падения при данных условиях. При этом мы могли бы проводить отсчет «высоты», скажем, от потолка комнаты. Независимо от этого и вне зависимости от вида траектории, по которой падает материальная точка (свободное падение, без трения), работа совершаемая силой тяжести одинакова и равна.

Подобным же образом потенциальной энергией обладает материальная точка на пружине, жесткость которой равна k. В самом деле, при небольших растяжениях пружины, где– длина недеформированной пружины можно записать силу Гука

.

Если пружину растягивать (заметим, что перемещения конца пружины противоположно по направлению действующей силы, что приводит к замене знака « – » на знак «+» ), то совершаемая над пружиной работа, равная запасенной потенциальной энергии, составит

.

Полная потенциальная энергия определяется неопределенным интегралом, то есть равна

.

Произвольная постоянная может быть задана, если указать начало системы отсчета. Если конец нерастянутой пружины совпадает с началом отсчета, то константу принимают за нуль.

Потенциальная энергия связана с силой, действующей на систему. Рассматривая движение только вдоль оси Х, легко установить, что

,

или, точнее,

.

Обобщение последней формулы на трехмерное движение дает

.

Выражения, стоящие справа (без учета знака «–» ) называют оператором набла,, или операторомградиент,, или просто записывают в виде. Все эти обозначения эквивалентны. Использование «круглых» символови подобных им показывает, что производная вычисляется при фиксированных значениях остальных переменных, т. е. находитсячастная производная.

§11. Закон сохранения механической энергии.

Алгебраическая сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной энергией механической системы. При выполнении нескольких дополнительных условий эта энергия сохраняется во времени. В этом случае говорят, что справедлив закон сохранения механической энергии. Какие же это условия?

Во-первых, требуется, чтобы система была замкнутой, то есть никакая энергия не выходила из рассматриваемой системы и не входила в неё. Энергия может переходить из потенциальной формы в кинетическую и обратно, но полная энергия должна оставаться постоянной. Последнее выполняется далеко не всегда. Представим себе, что имеется резиновый ластик и какая-либо шероховатая поверхность. Если двигать ластиком по этой поверхности, то будут происходить два одновременных процесса. Движения ластика будет приводить к нагреву области контакта, то есть механическая энергия начнет переходить в скрытую форму энергии – в тепло. Кроме того, будет происходить разрушение ластика, что также требует потерь энергии.

Выше мы говорили о том, что некоторые силы являются консервативными (работа таких сил по замкнутой траектории равна нулю). Это второе требование. Другие силы – неконсервативные, движение под действием таких сил по замкнутой траектории приводит к выделению энергии в виде тепла или приводит к необратимым деформациям. Неконсервативные – это все силы трения, связанные со структурными превращениями, плавлением и т.п.

Итак, если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то для такой механической системы справедлив закон сохранения механической энергии.

Кроме механического закона сохранения энергии известен общефизический закон сохранения энергии. Он учитывает преобразования энергии в любые формы и утверждает, что энергия не исчезает «в никуда» и не появляется «из ничего». Например, при выстреле химическая энергия, запасенная в порохе, переходит в тепловую энергию пороховых газов. Газы расширяются, сообщая снаряду кинетическую энергию поступательного движения. Легко указать и другие, более сложные процессы преобразования энергии.