18. Нормировка функции распределения. Функция распределения нормируется условием
.
Такая
нормировка называется нормировкой на
единицу. Если в системе имеется
одинаковых объектов, справа вместо 1
иногда ставят число
.
Тогда говорят, что функция распределения
нормирована на «число частиц».
Правило вычисления средних статистических
величин: Вначале
записывают тождество
,
где
– та физическая величина, которую надо
сопоставлять с экспериментом, или
функциональные зависимости которой от
разных параметров надо исследовать.
Тождество интегрируют с функцией
распределения (оно остается тождеством):
.
Интегрирование проводится по всем допустимым значениям Х.
Затем
предполагается, что в первом интеграле
стоит не сам оператор
,
а его среднее статистическое значение
,
которое является независящей от Х
константой. Константу вынести из под
интеграла,
.
Поскольку функция распределения предполагается нормированной на единицу, стоящий слева интеграл равен 1 и мы получает формулу для расчета среднего
.
19. Распределение Максвелла для одномерного движения частиц. Интеграл Френеля.
20.
Распределение Максвелла по скоростям:
Первым распределением
статистической физики было распределение
частиц идеального газа. находящегося
в равновесии, по скоростям. Оно было
получено Максвеллом с помощью теории
вероятностей и кинетических представлений.
Максвелл нашел число частиц ансамбля,
скорости которых лежат в интервале
.
Это число можно записать в виде
,
где функция скорости называется функцией распределения Максвелла по скоростям. Нормировка.
21.
Распределение Максвелла по модулям
скоростей. Функция
распределения в этом случае зависит от
модуля скорости, изменяющемся в
интервале
.
Такая функция называется функцией
распределения Максвелла по модулям
скоростей и имеет вид
.
22. График
распределения Максвелла по модулям
скоростей и его особенности.
На рисунке 9
приближенное изображение функции
распределения Максвелла для некоторой
температуры T.
Точка А – точка касания горизонтальной
прямой – максимум функции
. Этой точке соответствует наиболее
вероятная скорость.
Площадь под кривой определяет условие
нормировки (1 или N).
При повышении температуры максимум
сдвигается вправо, становясь ниже, так
что нормировка и площадь под кривой
сохраняются.
23.
Распределение Больцмана. При
изучении распределения Максвелла по
скоростям Больцман заметил, что в
показателе экспоненты стоит отношение
кинетической энергии к энергии
.
Это послужило основанием для обобщения
распределения на случай, когда частица
имеет потенциальную энергию. Такое
распределение часто называют распределением
Больцмана. В этом случае функция
распределения может быть записана в
виде
,
где
нормировка проводится по всем координатам,
либо по указанной координатной области.
Барометрическое распределение.
Нормировка может проводиться на
плотность частиц в единице объема (на
концентрацию частиц
)
или на давление P(Z).
Тогда говорят о барометрических
распределениях,
имеющих вид
,
.
Величины, имеющие индексы «0» – отмечают значения на уровне моря.
24. Распределение Максвелла – Больцмана. Дальнейшим обобщением функций распределения в классической статистической физике является распределение Максвелла – Больцмана, которое учитывает и пространственные, и скоростные переменные:
.
25. Формула Больцмана для энтропии. Основываясь на представлении о статистическом весе термодинамического состояния, Больцман определил энтропию соотношением (соотношение называется формулой Больцмана)
,
k
– постоянная Больцмана (именно эта
величина определяет размерность S),
учитывает, что энтропия определена с
точностью до произвольной постоянной.
26. Представление о кинетическом уравнении.
27.
Линейная флуктуация и входящие в её
определение величины. Смысл флуктуации.
По определению,
флуктуацией термодинамической величины
называют разность
, где
– наблюдаемое значение величины,
– среднее статистическое значение.
Поскольку
может изменять знак, то
и «линейная» флуктуация малоинформативна.
Флуктуации имеются как в стационарных
системах, так и в системах, у которых
параметры зависят от времени. Флуктуации
всегда зависят от времени. В стационарных
системах они возникают и затем
«рассасываются». В нестационарных
системах они имеют иной вид и иначе
зависят от времени. В частности, они
могут оказаться стационарными (ток
заряженных частиц во внешнем электрическом
поле; в этом случае
).
28. Квадратичные флуктуации. Обычно изучают квадратичные флуктуации,
.
Расчет квадратичной флуктуации иногда бывает очень сложным. Такой расчет может дать вероятность ЧУДА, кода весь воздух соберется в одной половине аудитории, или когда монета упадет одной и той же стороной большее число раз, чем половина попыток.
29. Кинетическое уравнение в приближении Блоха. Экспоненциальная релаксация. Если в равновесном ансамбле возникает флуктуация или на ансамбль оказывается внешнее воздействие, делающее ансамбль неоднородным, в нем возникают процессы переноса. Большинство из них (особенно при кратковременном внешнем воздействии) характеризуются временем релаксации или средним временем жизни флуктуации. Чтобы последовательно найти эти величины требуется их изучение с помощью кинетического уравнения. В самом простом случае (метод или приближение Блоха) производная в левой части кинетического уравнения заменяется отношением
,
где
– время релаксации. Достаточно часто
оказывается, что
.
Такой тип релаксации называют экспоненциальным.
30.
Среднее время свободного пробега и
средняя длина свободного пробега.С
понятием времени релаксации связано
(но не совпадает с ним ни по смыслу, ни
по величине) понятие среднего времени
между столкновениями частиц, обычно
обозначаемое как
.
Пусть столкновения происходят через
некоторые интервалы времени
,
где
– число учтенных столкновений, следующих
одно за другим. Тогда среднее
время свободного пробега
определяется стандартным образом:
.
Обычно
порядка
,
превосходя последнюю величину в несколько
раз.
Аналогичным
образом вводится средняя
длина свободного пробега
(см. рисунок 10). Цифры на рисунке 10
обозначают интервалы времени
или пути
,
проходимые частицей до следующего
столкновения. Средняя длина свободного
пробега равняется скаляру
.
31.
Формулы для средних длин, времен и
скоростей частиц равновесных ансамблей.
Если взять отношение
к
,
то мы получим среднюю
скорость
частиц ансамбля, которая, равна
.
Средняя длина свободного пробега
равняется скаляру
.
Тогда среднее
время свободного пробега
определяется стандартным образом:
.
32. Диффузия - процесс переноса вещества. Типы диффузии.
33. Первый закон Фика. Для одномерного случая она подчиняется первому закону Фика
.
Здесь D
– коэффициент диффузии (размерность
),
– плотность вещества (
),
–
элементарная площадка, перпендикулярная
оси х,
– масса вещества, перенесенного через
за время
.
Знак « – » показывает, что вещество
самопроизвольно переносится туда, где
его меньше.
34. Второй закон Фика. Второй закон Фика рассматривает диффузию как процесс во времени. Для изотропной модели он имеет вид
.
35. Плотность потока диффундирующего вещества.. Диффузию часто характеризуют плотностью потока диффундирующего вещества (вектор)
.
Поток указывает, куда и какое количество вещества переносится за единицу времени через единичную поверхность.
36.
Коэффициент самодиффузии в простой
кинетической теории.
.
37. Уравнение Фурье для одномерного случая теплопереноса. В изотропной среде для этого используется уравнение Фурье, являющееся следствием закона сохранения энергии при её кинетическом рассмотрении. В одномерном стационарном случае это уравнение имеет вид
,
здесь
– коэффициент теплопроводности,
,
знак « – » учитывает, что тепло
передается от более нагретой части
системы к менее нагретой, через площадку
,
перпендикулярную оси х, за время
.
38. Уравнение Ньютона для силы внутреннего трения. В стационарной системе при движении частиц вдоль оси у для описания вязкости используют уравнение Ньютона
,
– площадка,
параллельная слоям и направлениям их
движения, ось х
перпендикулярна
слоям и скоростям,
– коэффициент вязкости с размерностью
,
– сила, которая действует на поверхность
.
39. Вектор силы Стокса для сферически симметричного тела в вязкой жидкости. Движение сферически симметричного тела радиусом R в вязкой жидкости было рассмотрено Стоксом, который получил следующее выражение для модуля силы вязкости
.
Вектор силы вязкости направлен против
направления скорости, так что
.
40. Коэффициент теплопроводности и коэффициент вязкости в простой кинетической теории.