Локальная формула Муавра-Лапласа.

На практике пуассоновским приближением пользуются при . Если, то для расчетов используют приближение в соответствии с теоремой Муавра-Лапласа.

Пусть 0<p<1 и величина ограничена при, тогда

Требование ограниченности величины означает, что при величина k тоже должна расти вместе с величиной n. Точность формулы

растет как с ростом величин n и k , так и по мере приближения величин p и q к .

Пояснения к заданию е №2

Исследуйте для указанных значений параметров биноминального распределения точность асимптотической формулы Муавра-Лапласа.

Порядок выполнения задания.

1 Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.

2. Вычислите требуемые вероятности по интегральной формуле Муавра-Лапласа.

4. Сравните полученные результаты.

Пример выполнения задания.

Для n=10, 20, 50 и для p=0.5, 0.3, 0.2 вычислите вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное . Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра-Лапласа. Сравните результаты.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.

Приведенные утверждения полностью подтверждают теоретические утверждения: погрешность аппроксимации уменьшается с ростом n и по мере приближения p и q к 0.5 .

Интегральная формула Муавра-Лапласа.

Пусть 0<p<1 , тогда для случайной величины, имеющей биноминальное распределение с параметром р, при для любыхa и b справедлива формула

Это означает следующее. Для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между , можно использовать формулу

,

где .

В Mathcad для вычисления значений Ф(х) предназначена функция pnorm(x,k0,1)

Пояснения к заданию № 3.

Исследуйте для указанного биноминального распределения точность интегральной формулы Муавра – Лапласа.

Порядок выполнения задания.

1. Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.

2. Вычислите требуемые вероятности по интегральной формуле Муавра-Лапласа.

3. Вычислите требуемые вероятности по модифицированной интегральной формуле Муавра-Лапласа

4. Сравните полученные результаты.

Пример выполнения задания.

Вероятность рождения мальчика p=0.51 , а девочки q=1-p=0.49. Найти вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет не менее 4000 и не более 5000. Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра-Лапласа. Сравните результаты.

Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.

Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения : приближенные значения вероятностей совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли.

Порядок выполнения работы. Задание № 1

Исследуйте для приведенного в задании эксперимента точность фсимптотической формулы Пуассона. Вычислите вероятность события для биноминального распределения и по приближенной формуле Пуассона. Для сравнения выполните вычисления для и .

В а р и а н т ы 1-10. Провайдер обслуживает n абонентов сети Internet . Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна р. Найти вероятность тоо, что в течение часа более k абонентов попытаются войти в сеть.

В а р и а н ты 11-20. Магазин продает в течение одного дня n коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что коробка с сюрпризом, равна р. Найти вероятность того, что в течение дня продано более k коробок с сюрпризом.

N	p	n	k	N	p	n	k
1	1000	0.003	3	11	2000	0.0020	6
2	1100	0.0029	4	12	2100	0.019	3
3	1200	0.0028	5	13	2200	0.0018	4
4	1300	0.0027	5	14	2300	0.0017	6
5	1400	0.0026	4	15	2400	0.0016	8
6	1500	0.0025	3	16	2500	0.0015	5
7	1600	0.0024	3	17	2600	0.0014	4
8	1700	0.0023	6	18	2700	0.0013	3
9	1800	0.0022	9	19	2800	0.0012	3
10	1900	0.0021	9	20	2900	0.0011	4