3. Динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения момента импульса

Для описания вращения тела вокруг неподвижной оси используются следующие физические величины:

1. Момент инерции тела I относительно заданной оси, характеризующий инертность тела в отношении вращательного движения.

2. Момент импульса тела L=I относительно заданной оси, являющийся количественной мерой вращательного движения тела, ω – угловая скорость вращения тела вокруг оси.

3. Момент силы М относительно заданной оси, который действует на тело и определяет скорость изменения во времени его момента импульса относительно оси вращения

.

(3.0.1)

Если при вращении момент инерции тела остается постоянным, то уравнение вращательного движения преобразуется к виду:

,

(3.0.2)

где – угловое ускорение тела.

При описании вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки используется момент импульса относительно точки, который определяется с помощью векторного произведения

,

(3.0.3)

где – радиус-вектор, проведенный из выбранной точки в ту точку, где находится начало вектора импульса(в точку нахождения частицы).

Аналогично можно определить вектор момента силыотносительно заданной точки

.

(3.0.4)

Момент импульса или силыотносительно точкиО обозначается как или(рис. 3.01).

Рис. 3.01

Точка О – начало координат, – радиус-вектор точкиO´, где находится начало вектора и точка приложения силы.

Рассмотрим проекцию вектора на осьz, проходящую через точку О. Из выражения (3.0.4) получим:

.

(3.0.5)

Величина M_z называется моментом силыотносительно заданной осиz. Важно отметить, чтоM_zне зависит от координатыzточки приложения силы и определяется только той компонентой силы, которая лежит в плоскости, перпендикулярной осиz. Эта компонента обозначается. Соответственно,обозначает компоненту силы, параллельную осиz (рис. 3.02). Таким образом, полная сила

.

(3.0.6)

Момент силы относительно осиz можно записать следующим образом:

.

(3.0.7)

Длина отрезка , перпендикулярного к его компоненте силы, называетсяплечом силы , – угол между радиусом-вектором и компонентой силы. Отрезки прямыхd, r и лежат в плоскости проходящей через точкуO´приложении силы перпендикулярно осиz. Выбор знака в формуле (3.0.7) зависит от ориентации вектора относительно осиz.

Рис. 3.02

Точка О – точка пересечения плоскости, проходящей через точку O´ приложения силы перпендикулярно осиz.

Для описания вращения твердого тела вокруг неподвижной оси используется уравнение моментов относительно этой оси

,

(3.0.8)

где

(3.0.9)

- момент импульса твердого тела относительно оси вращения, I – момент инерции твердого тела относительно этой оси, ω - угловая скорость вращения твердого тела и - момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно рассматриваемой оси. Согласно третьему закону Ньютона, суммарный момент всех внутренних сил относительно произвольной оси всегда равен нулю.

Если при вращении твердого тела его момент инерции сохраняется постоянным, уравнение моментов относительно неподвижной оси упрощается и принимает вид:

,

(3.0.10)

где

(3.0.10)

-угловое ускорение твердого тела и φ - угол поворота твердого тела вокруг оси вращения.

Из уравнения моментов относительно неподвижной оси следует, что момент импульса относительно этой оси сохраняется постоянным

,

(3.0.11)

если полный момент всех внешних сил, действующих на твердое тело, относительно рассматриваемой оси равен нулю

Мвнешн =0 .

(3.0.12)

Кинетическая энергия K твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, описывается выражением

.

(3.0.13)

Изменение кинетической энергии K может быть обусловлено работой как внешних, так и внутренних сил, поэтому

.

(3.0.14)

При повороте абсолютно твердого тела на бесконечно малый угол Δφ работа внешних сил

ΔАвнешн = МвнешнΔφ.

(3.0.15)

Если полный момент внешних сил, действующих на тело равен нулю, то изменение кинетической энергии вращающегося тела возможно за счет работы внутренних сил, которая меняет момент инерции твердого тела

.

(3.0.16)

Здесь L = const, поскольку М^внешн = 0.