Задача №2

На краю горизонтального диска радиусом R=0,1м неподвижно лежит маленькая шайба (рис.2.1). В момент времени t=0 диск начинает вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, с угловым ускорением ε=1рад/с². Через какое время t₁ шайба соскользнет с диска, если коэффициент скольжения между шайбой и поверхностью диска μ=0,2?

Рис.2.1

Угловая скорость ω и угловое ускорение ε определяются следующим образом

,

(1.2.1)

где φ - угол поворота диска вокруг вертикальной оси.

Шайба совершает ускоренное движение по окружности, где её ускорение удобно представить в виде векторной суммы.

.

(1.2.2)

Здесь – тангенциальное ускорение, направленное по касательной к окружности

.

(1.2.3)

где - единичный вектор касательной к окружности, направленный по вектору линейной скорости. Это ускорение определяет скорость изменения величины линейной скорости. Ускорение– нормальное ускорение, перпендикулярное к касательной окружности в точке нахождения шайбы и направленное к центру окружности

.

(1.2.4)

Единичный вектор нормали перпендикулярен к векторуи направлен к центру окружности. Нормальное ускорение определяет скорость изменения направления вектора.

Решение

Это пример обратной задачи динамики, где по заданному ускорению тела требуется найти необходимую силу.

1. Определим все силы, которые действуют на шайбу согласно условиям задачи: сила тяжести , сила реакции опорыи сила трения покоя(шайба считается неподвижной относительно поверхности диска).

2. Запишем в векторной форме уравнение движения шайбы в лабораторной системе отсчета:

.

(1.2.5)

Поскольку ускорение шайбы в вертикальном направлении равно нулю, то

(1.2.6)

и уравнение (1.2.5) упрощается:

(1.2.7)

Используя разложение полного ускорения шайбы на тангенциальное и нормальноеускорения, запишем уравнение (1.2.7) в виде:

,

(1.2.8)

где .

3. Перейдем от векторной формы записи уравнения (1.2.8) к скалярной, используя проекции на направления ускорений и,

,

(1.2.9)

4. Определим зависимость величины полного ускорения шайбы

(1.2.10)

от времени. Согласно определению

.

(1.2.11)

Здесь использована известная формула для линейной скорости материальной точки, движущейся по окружности, .

Нормальное ускорение определяется выражением

,

(1.2.12)

в которое входит неизвестная угловая скорость ω(t). Для нахождения ω(t) используем определение углового ускорения

.

(1.2.13)

Разделим в этом дифференциальном уравнении относительно угловой скорости переменные ω и

(1.2.14)

и проинтегрируем левую часть по времени от t=0 до текущего момента времени t, а правую часть по угловой скорости от начального значения 0 до текущего значения ω(t)

.

(1.2.15)

Выполняя интегрирование

(1.2.16)

и подставляя (1.2.16) в (1.2.10), найдем, что

.

(1.2.17)

Из (1.2.10), (1.2.11) и (1.2.17) следует, что величина полного ускорения

(1.2.18)

монотонно растет со временем.

5. В соответствии с ростом величины ускорения должна расти сила трения покоя, обеспечивающая это ускорение,

.

(1.2.19)

Однако величина силы трения покоя ограничена сверху величиной силы трения скольжения F_тр.ск.=μN=μmg :

Fтр.п.≤ μmg ,

(1.2.20)

поэтому условие движения шайбы вместе с диском принимает вид

.

(1.2.21)

Отсюда находим, что в момент времени t₁, когда

,

(1.2.22)

шайба слетит с диска. Таким образом,

.

(1.2.23)

Отметим, что при μg<Rε шайба слетит с диска сразу после начала вращения.

Ответ: t₁=4,5с.