Задача №14

Два тела, имеющие массы m₁ и m₂, температуры и и одинаковую удельную теплоёмкостьc, помещены в теплоизолирующую оболочку. Определить равновесную температуру тел и изменениесуммарной энергии системы при установлении равновесия.

Решение

Начальное состояние тел не является равновесным, поскольку _. За счет теплопроводности при непосредственном контакте тел или лучистого теплообмена тела переходят в равновесное состояние, где они имеют одинаковую температуру Т_р.

Расчеты выполняются на основе закона сохранения энергии и определения энтропии.

Если температура тела 1 уменьшилась от до, то тело 1 передало телу 2 количество теплоты

, (5.14.1)

которое пошло на увеличение, внутренней энергии этого тела

. (5.14.2)

Из (5.14.1)и (5.14.2) следует, что равновесная температура двух тел

. (5.14.3)

Изменение энтропия тела 1 в случае обратимого охлаждения от доописывается выражением

. (5.14.4)

Изменение энтропия тела 2 в случае обратимого нагревания от доопределяется формулой

. (5.14.5)

Полное изменение энтропии двух тел

. (5.14.6)

Поскольку в случае ипри, тов полном соответствии со вторым началом термодинамики.

Ответ: ,.

6. Процессы переноса

В отсутствии внешнего силового поля равновесное состояние системы характеризуется постоянными по всему объему системы средними значениями концентрации частиц n и температуры Т. Если отклонения от равновесия невелики, можно ввести представление о локальном равновесии в малых макроскопических областях системы. Каждая такая область характеризуется своими величинами концентрации и температуры. Благодаря хаотическому тепловому движению частиц в неравновесной системе самопроизвольно (спонтанно) формируются процессы переноса вещества (диффузия) и внутренней энергии, зависящей от температуры (теплопроводность). Эти процессы переноса стремятся выравнить значения n и Т по всему объему системы и перевести систему в равновесное состояние.

В задачах рассматриваются стационарные (не зависящие от времени) процессы диффузии и теплопроводности в идеальном газе. Допустим, что процессы переноса происходят только вдоль оси х. Диффузия описывается законом Фика

,

где – плотность потока частиц вдоль осиx (число частиц, проходящих за единицу времени через единичное поперечное сечение, перпендикулярное оси x), D – коэффициент диффузии, n – концентрация частиц. Теплопроводность определяется законом Фурье

ǽ,

где – плотность потока теплоты вдоль осиx (количество теплоты, переносимой за единицу времени через единичное поперечное сечение, перпендикулярное оси x), ǽ – коэффициент теплопроводности, Т – температура.

В равновесном состоянии ,, поэтомуи, а потоки частиц и теплоты обращаются в нуль. Задача №15

Для случая идеального газа получить формулы для коэффициентов диффузии D и теплопроводностиǽ.

Решение Задача нахождения величины Dрешается с помощью закона Фика

. (6.15.1)

Пусть распределение частиц по скоростям теплового движения является изотропным, т.е. все направления движения произвольной частицы равновероятны. В этом случае плотность потока частиц в направлении оси xописывается формулой

, (6.15.2)

где – средняя скорость теплового движения,– концентрация частиц в точке. Температура газаТ и, следовательно, скорость одинаковые для всех элементов газа. Распределение Максвелла по скоростям является изотропным.

Если концентрация зависит от координаты(см. рисунок),

суммарная плотность потока частиц в направлении оси x имеет вид

. (6.15.3)

Отсюда находим, что

. (6.15.4)

Здесь – средняя длина свободного (без столкновений) пробега частиц.