Вычитание

Вычитание в дополнительном коде сводится к вычитанию одноименных разрядов чисел, начиная с младшего разряда и включая знаковый разряд, с учетом заёма из предыдущего разряда. Знаковые разряды вычитаются по правилам вычитания двоичных цифр с учетом заёма из предшествующего разряда. Заём из знакового разряда отбрасывается. Полученный результат представлен в дополнительном коде.

Примеры вычитания двоичных чисел в дополнительном коде:

Примеры вычитания шестнадцатеричных чисел в дополнительном коде:

Вычитание в обратном коде отличается от вычитания в дополнительном коде тем, что заём из знакового разряда не отбрасывается, а вычитается из младшего разряда промежуточной разности. Этот заём называют циклическим. Результат вычитания будет получен в обратном коде. Вычитание можно выполнять, начиная с любого разряда.

Примеры вычитания двоичных чисел в обратном коде:

Переполнение разрядной сетки при вычитании

Переполнение разрядной сетки при вычитании может произойти только при разных знаках операндов. Если знак уменьшаемого 0, а вычитаемого 1, то знак разности должен быть 0. При переполнении разрядной сетки знак разности будет 1 из-за отсутствия заёма.

Поэтому признак переполнения можно описать выражениями:

где d_n – знаковый разряд разности; u_n – заём из знакового разряда.

Если знак уменьшаемого 1, а вычитаемого 0, то знак разности должен быть 1. В этом случае признак переполнения описывается выражениями:

Признак переполнения при вычитании описывается уравнениями:

При R=1 дополнительный код правильного значения разности можно получить, приписав к результату слева знак уменьшаемого и считать, что все остальные разряды являются значащими. Например:

Замена операции вычитания сложением и наоборот

Можно вычислить разность Z=X–Y не путем вычитания Y из значения X, а посредством сложения X с (–Y). Действительно:

Это позволяет строить устройство для вычитания (вычитатель) из устройства изменения знака и сумматора.

Напротив, можно исключить выполнение операции сложения, заменив ее операциями изменения знака второго операнда с последующим вычитанием его из первого операнда. Действительно:

Эта возможность никак не зависит от системы счисления и от того, в каких кодах выполняется сложение или вычитание.

Операция алгебраического умножения

Умножение в прямом коде

Результат умножения в прямом коде двух операндов без знака содержащих n и m значащих разрядов имеет n+m значащих разрядов. В частном случае, если n=m разрядность результата вдвое превышает разрядность операндов.

При умножении операндов со знаком и n значащими разрядами образуется произведение, содержащее 2n+1 разряд. Поэтому при записи произведения в формате, вдвое превышающем формат операндов, существует слева один избыточный значащий разряд, в который следует записывать 0. Например, если операнды со знаком представлены в прямом коде в шестнадцатиразрядном формате, то значащих разрядов 15, а разрядность произведения, включая его знак, 2×15+1=31. Поэтому в 32 разрядный формат придется записывать 0 в разряд, следующий за разрядом знака.

Знак произведения вычисляют путем сложения по модулю 2 знаковых разрядов операндов. Значащие разряды произведения вычисляют, перемножая операнды как числа без знака. Результат умножения XY целых без знака должен быть равен результату Y-кратного сложения X с самим собой. Дробные числа перемножают как целые, а положение запятой в произведении определяют, отсчитывая, справа налево столько разрядов, сколько дробных разрядов в операндах вместе.

При умножении вычисляют частные произведения множимого X на каждый разряд множителя Y. Суммируют частные произведения с учетом веса каждого из них равного весу разряда множителя. Вес частного произведения учитывают сдвигом его влево на необходимое число разрядов относительно частного произведения X на младший разряд Y.

При вычислении частных произведений в системе счисления с основанием P>2 необходимо учитывать переносы в старшие разряды, возникающие при умножении цифры X на цифру Y. В двоичной системе такие переносы отсутствуют, что существенно упрощает процесс умножения в двоичной системе счисления.

Таблицы умножения цифр системы счисления можно получить, перемножив количественные эквиваленты ее цифр и представив результаты в этой системе счисления. Например, произведение цифр 9×F шестнадцатеричной системы счисления имеет количественный эквивалент 9₁₀×15₁₀=135₁₀, или 87₁₆. Следовательно, результат в данном разряде равен 7₁₆, и перенос в следующий разряд равен 8₁₆.

В двоичной системе счисления частное произведение X на цифру Y равно 0, если цифра Y равна 0, или оно равно X, если цифра Y равна 1. Это существенно упрощает вычисление частных произведений в двоичной системе.

Например, пусть необходимо перемножить прямые двоичные коды чисел 0⎢1101.01 и 1⎢1011.10. Определим знак результата: 0⊕1=1 – знак произведения минус. Найдем матрицу частных произведений значащих разрядов:

первая и предпоследняя строки матрицы нулевые, так как они содержат частные произведения X на младший и предпоследний разряды Y равные нулю. Остальные строки содержат X, так как соответствующие им разряды Y содержат 1. Каждое последующее частное произведение сдвинуто на разряд влево относительно предыдущего, чтобы учесть его вес;

произведение можно вычислять путем суммирования частных произведений так, как это обычно делают в десятичной системе счисления. Причем порядок суммирования цифр столбца и переносов в столбец не играет роли.

Умножение в дополнительном коде.

Если операнды представлены в дополнительном коде и содержат по n значащих разрядов, то количество значащих разрядов в их произведении равно 2n+1. Это на один разряд больше, чем при умножении в прямом коде. Поэтому, например, при умножении двоичных дополнительных кодов операндов представленных в 16 разрядном формате необходимо для хранения произведения использовать все разряды 32 разрядного формата.

Старший дополнительный значащий 2n+1 разряд дополнительного кода положительного произведения принимает значение 1 только в том случае, когда оба операнда отрицательны и все их значащие разряды равны 0. Это вызвано асимметрией представления чисел в дополнительном коде. Дополнительный значащий 2n+1 разряд отрицательного произведения всегда содержит цифру обратную нулю: 1 в двоичной, 9 в десятичной, F в шестнадцатеричной системах счисления.

Например. Пусть в десятичной системе счисления X=Y=1|00_доп (–100₁₀). Тогда произведение XY = 0|10000 (+10000₁₀) и содержит 5, а не 4, как можно было бы ожидать, значащих разрядов.

Знак произведения равен сумме по модулю 2 знаковых разрядов операндов.

Таким образом, по крайней мере, два разряда произведения – знаковый и дополнительный можно вычислять, не выполняя собственно умножения.

Остальные разряды дополнительного кода произведения можно вычислять разными способами. Рассмотрим некоторые из них.

Умножение в дополнительном коде выполняется с промежуточным преобразованием операндов в прямой код и результата – в дополнительный. Очевидно, что изложенный способ умножения дополнительных кодов операндов значительно сложнее способа умножения в прямом коде, что усложняет аппаратуру и замедляет процесс вычислений.

Умножение без преобразования в прямой код с введением корректирующих поправок в результат

Если перемножать значащие разряды дополнительных кодов операндов так, как это делали в прямом коде, то результат получится верным, если знаки операндов положительные. Это следует из того, что дополнительные коды положительных операндов и положительного результата совпадают с их прямыми кодами. При отрицательных знаках операндов результат умножения ошибочен.

Выполним анализ ошибки. Найдем значение результата умножения отрицательных чисел и сравним его с правильным значением.

Пусть операнды X<0, а Y≥0. Так как операнды представлены в дополнительном коде, то количественные эквиваленты значащих разрядов их кодов будут равны Pⁿ−|X| и |Y|. Здесь Pⁿ – вес знакового разряда (n≥0), а Pⁿ−|X| – дополнение значения |X| до Pⁿ. Количественный эквивалент кода значащих разрядов произведения, полученного по правилу умножения в прямом коде, будет равен

Так как правильное значение результата должно быть представлено в дополнительном коде, то его значащие разряды должны содержать код дополнения |XY| до веса знакового разряда произведения. Знаковый разряд произведения должен иметь вес P²ⁿ⁺¹, так как количество разрядов в целой части произведения при умножении удваивается и образуется один дополнительный значащий разряд. Следовательно, количественный эквивалент значащих разрядов дополнительного кода произведения должен быть равен

Очевидно, что код результата содержит ошибку, и ее количественный эквивалент

Аналогично, при X≥0 и Y<0 код результата содержит ошибку

Если оба операнда отрицательны X<0, Y<0, то количественный эквивалент кода значащих разрядов произведения получится равным

Так как произведение положительно, правильный код значащих разрядов произведения должен иметь количественный эквивалент |X||Y|.

Ошибка составит величину

Что следует сделать для ликвидации ошибок?

Очевиден первый вариант ответа на этот вопрос – устранять последствия неправильных действий – устранять ошибку путем ее компенсации. В данном случае этот путь поиска вполне реален, так как ошибка детерминирована. Ее можно устранять путем прибавления той или иной корректирующей поправки к результату умножения. Величина корректирующей поправки зависит от знаков операндов.

При несовпадении знаков операндов достаточно прибавить к коду результата умножения сдвинутый влево на n разрядов код дополнения положительного операнда до Pⁿ⁺¹ для того, чтобы количественный эквивалент (1) кода результата умножения стал равным количественному эквиваленту правильного результата (2). Действительно, если, например X<0, а Y≥0, то ошибочный результат (1) увеличенный на (3) будет равен

что и требуется.

Если знаки обоих операндов отрицательны, то к результату умножения достаточно прибавить сдвинутые на n разрядов влево значащие разряды прямых кодов операндов и уменьшить результат на единицу в разряде 2n. Это приведет к тому, что количественный эквивалент результата станет равным требуемому. Действительно, прибавив к ошибочному произведению (4) ошибку (5) получим:

Пример. Пусть десятичные операнды X=±910,24; Y=±800,13. Правильные значения произведений XY=±728310,3312. Дополнительные коды операндов 0⎢910.24; 1⎢089.76 и 0⎢800.13; 1⎢199.87 соответственно. Дополнительные коды произведений 0⎢0728310,3312 и 1⎢9271689.6688.

Перемножим дополнительные коды операндов по правилу умножения в прямых кодах и введем корректирующие поправки.

В исходных данных отсутствуют значения поправок. Поэтому их приходится вычислять путем взятия дополнений операндов, что сильно осложняет процесс умножения.