П р и м е р
Задача 3. Исследование сложных электрических цепей
Синусоидального тока
Параметры цепи
Таблица 3.2
|
|
Обозначение |
Значения |
Ед. изм. |
|
Вариант |
|
1 |
|
|
Модуль ЭДС |
|
150 |
В |
|
Аргумент ЭДС |
|
90 |
град |
|
Модуль ЭДС |
|
120 |
В |
|
Аргумент ЭДС |
|
0 |
град |
|
Модуль ЭДС |
|
100 |
В |
|
Аргумент ЭДС |
|
-45 |
град |
|
Активное сопротивление |
|
15 |
Ом |
|
Индуктивное сопротивление |
|
10 |
Ом |
|
Емкостное сопротивление |
|
5 |
Ом |
|
Активное сопротивление |
|
10 |
Ом |
|
Индуктивное сопротивление |
|
5 |
Ом |
|
Емкостное сопротивление |
|
10 |
Ом |
|
Активное сопротивление |
|
10 |
Ом |
|
Индуктивное сопротивление |
|
10 |
Ом |
|
Емкостное сопротивление |
|
20 |
Ом |
|
Индекс изменяемого параметра |
|
1 |
|
Перевод градусов в радианы поведем по уравнению
.
Результаты расчетов сведем в табл. 3.3.
Таблица 3.3
|
|
Обозначение |
Значения |
Ед. изм. |
|
Число п |
|
1.571 |
рад |
|
Аргумент
ЭДС
|
|
1.571 |
рад |
|
Аргумент
ЭДС
|
|
0.000 |
рад |
|
Аргумент
ЭДС
|
|
-0.785 |
рад |
1. Уравнения по законам Кирхгофа
Заданная цепь имеет два узла и два контура, поэтому составляем одно уравнение по 1 закону Кирхгофа и два по второму
;
;
где
- комплексное сопротивление первой
ветви
;
;
,
-
комплексное сопротивление первой ветви
;
;
;
;
-
комплексное сопротивление второй ветви
;
;
;
;
-
комплексное сопротивление третьей
ветви
;
;
;
.
Результаты расчетов комплексных сопротивлений ветвей сведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
|
|
Обозначение |
Значения |
Ед. изм. |
|
Реактивное сопротивление 1 ветви |
|
5 |
Ом |
|
Полное сопротивление (модуль) 1 ветви |
|
15.811 |
Ом |
|
Аргумент сопротивления 1 ветви |
|
0.322 |
рад |
|
Реактивное сопротивление 2 ветви |
|
-5 |
Ом |
|
Полное сопротивление (модуль) 2 ветви |
|
11.180 |
Ом |
|
Аргумент сопротивления 2 ветви |
|
-0.464 |
рад |
|
Реактивное сопротивление 3 ветви |
|
-10 |
Ом |
|
Полное сопротивление (модуль) 3 ветви |
|
14.142 |
Ом |
|
Аргумент сопротивления 3 ветви |
|
-0.785 |
рад |
2. Расчет токов ветвей
Для расчета токов ветвей воспользуемся методом контурных токов. Расчетные уравнения
;
,
где
,
- контурные токи;
,
- контурные ЭДС;
;
;
при
,
при
,
;
;
при
,
при
,
-
собственное сопротивление первого
контура
:
,
,
,
-
собственное сопротивление второго
контура
:
,
,
,
,
-
сопротивления смежной ветви
.
Результаты расчетов контурных ЭДС сведены в табл. 3.5.
Таблица 3.5
|
|
Обозначение |
Значения |
Ед. изм. |
|
Активная составляющая ЭДС E1 |
|
0.000 |
В |
|
Реактивная составляющая ЭДС E1 |
|
150.000 |
В |
|
Активная составляющая ЭДС E2 |
|
120.000 |
В |
|
Реактивная составляющая ЭДС E2 |
|
0.000 |
В |
|
Активная составляющая ЭДС E3 |
|
70.711 |
В |
|
Реактивная составляющая ЭДС E3 |
|
-70.711 |
В |
|
Активная составляющая контурной ЭДС E11 |
|
-120.000 |
В |
|
Реактивная составляющая контурной ЭДС E11 |
|
150.000 |
В |
|
Модуль контурной ЭДС E11 |
|
192.094 |
В |
|
Аргумент контурной ЭДС E11 |
|
2.246 |
рад |
|
Активная составляющая контурной ЭДС E22 |
|
49.289 |
В |
|
Реактивная составляющая контурной ЭДС E22 |
|
70.711 |
В |
|
Модуль контурной ЭДС E22 |
|
86.194 |
В |
|
Аргумент контурной ЭДС E22 |
|
0.962 |
рад |
Результаты расчетов контурных сопротивлений сведены в табл. 3.6.
Таблица 3.6
|
|
Обозначение |
Значения |
Ед. изм. |
|
Активное сопротивление контура 1 |
|
25.000 |
Ом |
|
Реактивное сопротивление контура 1 |
|
0.000 |
Ом |
|
Модуль сопротивления контура 1 |
|
25.000 |
Ом |
|
Аргумент сопротивления контура 1 |
|
0.000 |
рад |
|
Активное сопротивление контура 2 |
|
20.000 |
Ом |
|
Реактивное сопротивление контура 2 |
|
-15.000 |
Ом |
|
Модуль сопротивления контура 2 |
|
25.000 |
Ом |
|
Аргумент сопротивления контура 2 |
|
-0.644 |
рад |
|
Активное межонтурное сопротивление |
|
-10.000 |
Ом |
|
Реактивно межонтурное сопротивление |
|
5.000 |
Ом |
|
Модуль межконтурного сопротивления контура |
|
11.180 |
Ом |
|
Аргумен межконтурного сопротивления |
|
2.678 |
рад |
Решение системы уравнений контурных токов выполним с помощью определителей
;
;
где
- главный определитель
,
- определители
Расчет
определителя
ведем по уравнениям
,
где
,
,
,
при
,
при
,
Аналогично
находим определители
и
.
Результаты расчетов определителей и контурных токов сведены в табл. 3.7.
Таблица 3.7
|
|
Обозначение |
Значения |
Ед. изм. |
|
Активная
часть определителя
|
|
425.000 |
Ом |
|
Реактивная
часть определителя
|
|
-275.000 |
Ом |
|
Модуль
определителя
|
|
506.211 |
Ом |
|
Модуль
определителя
|
|
-0.574 |
рад |
|
Активная
часть определителя
|
|
696.447 |
Ом |
|
Реактивная
часть определителя
|
|
5260.660 |
Ом |
|
Модуль
определителя
|
|
5306.560 |
Ом |
|
Аргумент
определителя
|
|
1.439 |
рад |
|
Активная
часть определителя
|
|
782.233 |
Ом |
|
Реактивная
часть определителя
|
|
3867.767 |
Ом |
|
Модуль
определителя
|
|
3946.075 |
Ом |
|
Аргумент
определителя
|
|
1.371 |
рад |
Определение контурных токов ведем по уравнениям
,
,
где
;
;
;
;
;
;
;
.
Результаты расчетов контурных токов сведены в табл. 3.8
Таблица 3.8
|
Модуль
контурного тока
|
|
10.483 |
А |
|
Аргумент
контурного тока
|
|
2.013 |
рад |
|
Активная
часть контурного тока
|
|
-4.491 |
А |
|
Реактивная
часть контурного тока
|
|
9.472 |
А |
|
Модуль
контурного тока
|
|
7.795 |
А |
|
Аргумент
контурного тока
|
|
1.946 |
рад |
|
Активная
часть контурного тока
|
|
-2.853 |
А |
|
Реактивная
часть контурного тока
|
|
7.254 |
А |
Расчет токов ветвей ведем по уравнениям
;
где
,
;
;
при
,
при
,
;
где
,
;
;
при
,
при
;
;
где
,
;
;
при
,
при
.
Перевод радиан в градусы осуществляется по формуле
.
Результаты расчетов токов ветвей сведены в табл. 3.9.
Таблица 3.9
|
|
Обозначение |
Значения |
Ед. изм. |
|
Активная
часть тока
|
|
-4.491 |
А |
|
Реактивная
часть тока
|
|
9.472 |
А |
|
Модуль
тока
|
|
10.483 |
А |
|
Аргумент
тока
|
|
2.013 |
рад |
|
Аргумент
тока
|
|
115.364 |
град |
|
Активная
часть тока
|
|
1.637 |
А |
|
Реактивная
часть тока
|
|
-2.218 |
А |
|
Модуль
тока
|
|
2.757 |
А |
|
Аргумент
тока
|
|
-0.935 |
рад |
|
Аргумент
тока
|
|
-53.570 |
град |
|
Активная
часть тока
|
|
2.853 |
А |
|
Реактивная
часть тока
|
|
-7.254 |
А |
|
Модуль
тока
|
|
7.795 |
А |
|
Аргумент
тока
|
|
-1.196 |
рад |
|
Аргумент
тока
|
|
-68.528 |
град |
Правильность расчетов проверяется путем составления баланса активных мощностей
Активная мощность всех ЭДС
Активная мощность, выделяемая в резисторах
Результаты расчетов мощностей сведены в табл. 3.10.
Таблица 3.10
|
|
Обозначение |
Значения |
Ед. изм. |
|
Активная мощность 1 ЭДС |
|
1420.861 |
Вт |
|
Активная мощность 2 ЭДС |
|
196.451 |
Вт |
|
Активная мощность 3 ЭДС |
|
714.723 |
Вт |
|
Суммарная активная мощность всех ЭДС |
|
2332.035 |
Вт |
|
Суммарная активная мощность потерь в активных сопротивлениях |
|
2332.035 |
Вт |
Полученные результаты (табл.3.10) позволяют сделать вывод, что расчеты токов ветвей выполнены без ошибок.