3.2. Изображение синусоидальных функций векторами и комплексными числами

Условимся на комплексной плоскости по оси абсцисс откладывать действительную часть комплексного числа и обозначать эту ось +1, а по оси ординат - мнимую часть и обозначать . Из курса математики известна формула Эйлера:

(32)

Комплексное число изображается на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим уголс осью +1 (уголотсчитывается против часовой стрелки от оси +1), как показано на рис.28.

Модуль функции равен единице:

Проекция функции на ось +1 равна, а на ось +j равна .

Если вместо функции взять функцию , то

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция , изобразится под угломк оси +1, но длина вектора будет враз больше.

В формуле (32) угол может быть любой. Положим, что, т.е. уголизменяется прямо пропорционально времени. Тогда

Коэффициент при j здесь равен правой части выражения (31).

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i можно представить как (мнимую часть ) или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора на ось +j (см. рис.27, б).

Учитывая, что синусоидальная функция времени и вращающийся вектородинаково проецируются на вертикальную ось в виде мгновенного значенияi (если графики построены в одинаковом масштабе, как это и сделано на рис. 27), американский инженер и ученый Ч.П. Штейнметц предложил изображать синусоидально изменяющиеся величины векторами на комплексной плоскости, причем, для единообразия, для момента времени t=0. Для этого момента времени вектор

где - комплексная величина, модуль которой равен;

- угол, под которым вектор проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину называют комплексной амплитудой токаi. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени .

Конечно, комплексные амплитуды или векторы, изображающие синусоидальные функции времени, имеют другой смысл, чем векторы, определяющие физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, напряженности электрического поля и т.д.

Например, если , то комплексная амплитуда будет

Обратный пример: по известной комплексной амплитуде тока требуется записать выражение мгновенного значения тока.

Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению необходимо умножить наи взять мнимую часть этого произведения:

Так как переменные токи и напряжения обычно характеризуются действующими значениями, введем понятие комплекса действующего значения. Под комплексом действующего значения синусоидальной функции понимают частное от деления комплексной амплитуды на :

Рассмотрим далее вопрос о том, как сложить две синусоидальные функции , иодинаковой частоты, но с различными амплитудами и различными начальными фазами. Непосредственное суммирование связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими вычислениями. Значительно проще решение может быть получено графически при помощи векторной диаграммы или аналитически - путем суммирования комплексных амплитуд.

Сумма двух рассматриваемых токов даст некоторый ток i той же частоты:

Требуется найти амплитуду и начальную фазутокаi. С этой целью изобразим суммируемые токи векторами и, как показано на рис.29.

Геометрическая сумма векторов идаст комплексную амплитуду суммарного тока

Амплитуда тока будет определяться длиной суммарного вектора, а начальная фаза- углом, образованным этим вектором и осью +1.

Для определения разности двух токов надо на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов.

Теперь перейдем к аналитическому методу. На основании выполненного выше построения можно записать

Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме:

Выполнив суммирование получим

где

Отсюда находим

Метод расчета цепей, основанный на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами, получил название комплексного или символического метода.