2.4. Метод контурных токов

В этом методе принимается, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток. Уравнения составляются относительно контурных токов. После нахождения их определяются токи ветвей через контурные токи.

Число неизвестных здесь равно числу уравнений, которые надо было бы составить по второму закону Кирхгофа.

Используем для пояс-нений схему на рис.11.

Выбираем два незави-симых контура (в каждый из них входит ветвь, не вошедшая в другой) и нап-равления контурных

токов и обозначим их и.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа (при этом учтем, что по смежной ветви течет ток сверху вниз):

Перекомпануем эту систему к виду:

Введем обозначения:-полные (или собственные ) сопротивления контуров:-взаимное (или смежное) сопротивление;-контурные э.д.с.

С учетом обозначений последняя система примет вид:

(15)

Система уравнений (15) собственно и иллюстрирует правило составления уравнений по методу контурных токов.

Смежное сопротивление берется со знаком "минус", если направления контурных токов в этой ветви противоположны, и со знаком "плюс", если совпадают.

В контурные э.д.с. соответствующие э.д.с. входят со знаком "плюс", если их направление совпадает с принятым направлением контурного тока, и со знаком "минус", если направление противоположно.

Если бы в схеме было больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядела бы следующим образом:

(15,а)

В - смежные сопротивления соответственно первого и второго, первого и третьего, второго и третьего контуров.

В крайних ветвях схемы истинные и контурные токи совпадают, а в смежных определяются как алгебраические суммы контурных токов.

Пример 5.

Требуется определить токи всех ветвей.

В схеме шесть ветвей, четыре узла и один источник тока. По второму закону Кирхгофа для этой схемы необходимо составить два уравнения, столько же и по методу контурных токов,

Наличие источника тока вносит следующие особенности в формирование уравнений: а) ток источника тока, аналогично контурным, необходимо направить только по одному из контуров; б) контурные токи должны направляться по ветвям, не содержащим источник тока.

В соответствии с выбранными направлениями токов составляем уравнения, подобные (15) и (15,а):

По контурным токам определяем истинные токи ветвей:

2.5. Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы может быть определен с помощью обобщенного закона Ома по формуле (7). Но чтобы применить закон Ома, нужно знать потенциалы узлов.

Метод, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов, называется методом узловых потенциалов.

Причем, если один узел заземлить (принять его потенциал равным нулю), то число неизвестных сокращается на единицу. Метод целесообразно применять для сложных схем с небольшим числом узлов.

Для обоснования метода используем схему на рис. 13, содержащую четыре узла и 11 ветвей. Узел 4 заземлим.

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1:

(16)

_{На основании формулы (7) можно записать:}

Подставим последние соотношения в (16):

(17)

Перепишем уравнение (17) следующим образом:

(18)

Здесь обозначено:

Проанализируем структуру уравнения (18).

Множителем при является сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле 1.

равняется сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятой со знаком "минус", аналогично и .

Ток называется узловым током (первого узла). Это расчетная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления э.д.с. ветвей, подходящих к узлу 1 , на сопротивления данных ветвей (со знаком "плюс" токи тех ветвей, э.д.с. которых направлены к узлу 1).

Подобные уравнения могут быть составлены и для остальных узлов. Например, для произвольной схемы с n узлами:

(19)

Здесь - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узлеk; - сумма проводимостей ветвей, объединяющих узлыkum, взятая со знаком "минус"; - узловой ток узлаk ( если к узлу k подтекает ток и от источника тока, то он должен добавиться к со знаком "плюс", а если вытекает - то со знаком "минус").Если между какими-либо двумя узлами нет ветвей, то соответствующая проводимость равна нулю.

После определения узловых потенциалов по обобщенному закону Ома определяются токи в ветвях.

Пример 6.

Для схемы на рис. 13 задано:

Требуется методом узловых потенциалов определить токи в ветвях.

Согласно (19) записываем систему уравнений:

Подсчитываем проводимости:

(при расчете учтено, что проводимость ветви с источником токаравна нулю).

Определяем узловые токи:

Подставляем полученные данные в исходную систему уравнений:

Решим полученную систему с помощью определителей:

Рассчитаем токи в ветвях, применив формулу (7):

Сделаем проверку по второму закону Кирхгофа для внешнего контура схемы (выберем направление обхода контура по часовой стрелке).

Сумма падений напряжений:

Сумма э.д.с.:

Второй закон Кирхгофа для выбранного контура выполняется, что и подтверждает правильность расчетов.