6. Теория четырехполюсника. Фильтры

6.1. Основы теории пассивного четырехполюсника

Генератор и приемник обычно соединяются через промежуточную цепь, в общем случае сколь угодно сложную. Каждая из таких цепей имеет два входных зажима (к ним подсоединяется генератор) и два выходных (к ним подсоединяется нагрузка). Отсюда и название - четырехполюсник.

Основными уравнениями четырехполюсника называются линейные зависимости, связывающие его входные и выходные величины. Исходя из этих уравнений, можно любой сложный четырехполюсник заменить одной из простых эквивалентных схем, что существенно упрощает расчет и исследования.

Схема на рис.90 иллюстрирует соединение генератора с э.д.с. и нагрузкичерез пассивный четырехполюсник.

Заменим нагрузку на э.д.с.направленную встречно токуи численно равную напряжениюна нагрузке, как показано на риc.91. Такая замена возможна согласно теореме компенсации (см. подраздел 2.9).

Запишем выражения для токов через э.д.с. и входные и взаимные проводимости ветвей (т.е. используем метод наложения):

Примечание. Под входными проводимостями понимаются проводимости, имеющие в формулах (57), (58) одинаковые индексы, а под взаимными - проводимости, имеющие разные индексы.

Ветвь цепи с источником (рис.91) будем называть первой, а ветвь с источником- второй.

Через входную проводимость (например ) можно определить ток в ветви (первой) с источником э.д.с., если остальные э.д.с. в цепи равны нулю ().

Через взаимную проводимость () можно определить ток в ветви (например, второй) без источника э.д.с. (при) от источника э.д.с., расположенного в другой ветви (первой).

Из (58) получим

(60)

Подставим(60) и (57):

(61)

Введем обозначения:

Коэффициенты А, В, С, D называются постоянными четырехполюсника. А и D - безразмерные, В имеет размерность сопротивления, С - проводимости.

Заменив в (60) и (61) наинаполучим основные уравнения четырехполюсника:

(63)

Найдём определитель этой системы:

Поменяем местами источник и приемник, как показано на рис.92.

Если здесь также заменить на э.д.с., направленную встречно, то получим:

(64)

(65)

Из (64) следует

(66)

Подставим (66) в (65):

(67)

Заменив в (66) и (67) на,наполучим:

(68)

Сравнивая системы уравнений (63) и (68) для прямого (см. рис.80) и обратного (см. рис.92) включений четырехполюсника, можно видеть, что поменялись местами постоянные А и D.

Четырехполюсник называют симметричном, если при перемене местами источника и нагрузки токи в источнике и нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике А=D.

Комплексные коэффициенты А,В,С,D можно определить по формулам (62), если схема внутренних соединений четырехполюсника и ее параметры известны, либо используя входные сопротивления четырехполюсника, полученные опытным или расчетным путем.

Определим комплексное входное сопротивление четырех-полюсника при трех различных режимах его работы.

1. Комплекс входного сопротивления со стороны зажимов mn при разомкнутой ветви pq (холостой ход ветви рq):

2. _{Комплекс входного сопротивления со стороны зажимов mn при коротком замыкании зажимов рq (короткое замыкание ветви рq):}

3. _{Комплекс входного сопротивления со стороны зажимов рq при коротком замыкании зажимов mn:}

_{Отсюда комплекс входного сопротивления}

_.

следовательно,

_{При обратном питании и коротком замыкании входных зажимов}

Таким образом, для определения четырех неизвестных имеем четыре уравнения:

(72)

(73)

(74)

(75)

Cоставим разность

,

или

. (76)

Поделим (75) на (74):

(77)

Умножим (76) на (77):

(78)

Таким образом, вначале по (78) рассчитывается постоянная четырехполюсника А, затем по (73) определяется постоянная С, по (75) - постоянная В и по (74) - постоянная D.

Функции сколь угодно сложного пассивного четырехполюсника как передаточного звена между источником и нагрузкой могут выполнять (при фиксированной частоте) простейшие электрические схемы, называемые схемами замещения четырехполюсника: Т-схема замещения (см. рис.93) и П-схема замещения (см. рис.94).

Три сопротивления Т- или П-cхем замещения должны быть рассчитаны исходя из того, чтобы схема замещения обладала такими же коэффициентам А, В, С, D, какими обладает заменяемый ею четырехполюсник. Задача эта однозначна, так как схема замещения содержит три элемента и четырехполюсник характеризуется тоже тремя параметрами (одна связь между А, В, С D задана уравнением АD - ВС = 1).

Выразим напряжение и токв Т-схеме (см. рис.93) через напряжениеи ток:

(79)

(80)

Сопоставим (79) и (80) с (63) и найдём

(81)

Следовательно,

(82)

Аналогичные выкладки для П-схемы (см. рис.94) дают:

Следовательно,

(83)

Если четырехполюсник симметричный, то А=D и в Т-схеме замещения а в П-схеме .

Исследование многих цепей, составленных из четырехполюсников, удобно проводить с помощью так называемых характеристических параметров -характеристического сопротивления и постоянной передачиg. Ограничимся рассмотрением этих параметров для симметричного четырехполюсника.

Распределение токов и напряжений на входе и выходе четырехполюсника зависит от его нагрузки. В частности, может быть создан такой режим, при котором входное сопротивление четырехполюсника равно сопротивлению приемника. Сопротивление , которое нужно включить для этого на выходные зажимы четырехполюсника, называют повторным или характеристическим, а режим, при котором-режимом согласованной нагрузки. В этом режиме

(84)

Для определения через постоянные четырехполюсника используем основные уравнения (63), которые для симметричного четырехполюсника примут вид:

(85)

С учетом (84)

откуда

Из (84) видно, что при согласованной нагрузке

(86)

так как

Отношение входных величин к выходным представляет собой комплексное число и может быть записано в показательной форме

(87)

где - комплексное число, называемое постоянной передачи четырехполюсника,

a-коэффициент затухания,

b-коэффициент фазы.

Названия a и b определяются их ролью. Если четырехполюсник находится в режиме согласованной нагрузки, то

то есть коэффициент затухания может быть определён по отношению модулей напряжений (или токов) как

и характеризует изменение напряжений (или токов) только по величине.

Изменение же фазы определяется коэффициентом b, так как умножение вектора на соответствует повороту этого вектора наb без изменения его величины.

Безразмерные величины а и b измеряются, соответственно а в неперах, b – в радианах. Затуханием в 1 непер обладает четырехполюсник, у которого при согласованной нагрузке выходное напряжение в е=2,718 раз меньше входного.