5. Периодические несинусоидальные токи

5.1. Расчет линейных цепей с несинусоидальными токами

Несинусоидальные токи в линейных электрических цепях возникают от периодических э.д.с., изменяющихся во времени по закону, отличающемуся от функции синуса. Например, э.д.с. могут иметь форму треугольника, прямоугольника, трапеции и т.д. Кроме того, может быть искажена форма исходно синусоидальной э.д.с. за счет подключения к сети переменного тока мощных нагрузок с нелинейными вольт-амперными характеристиками.

Из курса математики известно, что любая периодическая функция с периодом Т, удовлетворяющая условиям Дирихле (а все периодические функции в электротехнике этим условиям удовлетво-ряют), может быть разложена в ряд Фурье:

(51)

здесь - постоянная составляющая,

- амплитуда косинусной составляющейk-ой гармоники,

- амплитуда синусной составляющейk-ой гармоники.

(52)

Так как:

где ито ряд Фурье (51) может быть записан в другой форме:

(53)

где - амплитудаk-ой гармоники ряда Фурье.

Гармоники, для которых k – число нечетное, называется нечетны-ми гармониками, для которых k – число четное, - четными гармониками.

На рис. 81 - 83 изображены три периодические кривые, обладающие не-которыми специфическими свойств-ами.

Кривая на рис.81 удовлетворяет условию

Кривые, для которых выполняя-ется это свойство, называют симмет-ричными относительно оси абсцисс. В разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляя-ющая и четные гармоники.

Кривая, подобная кривой на рис.82, обладает симметрией относи-тельно оси ординат. Для нее выпол-няется условие

В разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные состав-ляющие. Кривые по типу кривой на рис.83 обладают свойством

Они называются кривыми, симметричными относительно начала координат. Разложение их в ряд Фурье содержит только синусные составляющие.

Для некоторых кривых геометрически правильной формы разложение в ряд Фурье дается в справочной и учебной литературе по математике и электротехнике.

Пример 26.

В силовой электронике при получении постоянного напряжения из переменного (т.е. при выпрямлении) для оценки качества постоянного напряжения используется показатель, называемый коэффициентом пульсаций .

Коэффициент пульсаций равен отношению амплитуды низшей гармоники переменной составляющей выпрямленного напряжения к его среднему значению. Определим коэффициент пульсаций для выпрямленного напряжения , диаграмма которого приведена на рис.84.

Для использования симметрии кривой примем начало отсчета време­ни, как показано на рис.84. Тогда переменное напряжение можно записать:

Период Т кривой выпрямленного напряжения в два раза меньше пе­риода переменного напряжения u. То есть в угловой мере период кривой равен .

Обозначим среднее значение выпрямленного напряжения и вычис­лим его по формуле (52), как постоянную составляющую разложения в ряд Фурье:

Так как частота кривой в два раза больше частоты напряжения u, то низшей гармоникой выпрямленного напряжения будет вторая (.относительно гармоники переменного напряжения). Обозначим амплитуду второй гармо­ники выпрямленного напряжения и вычислим ее с учетом того, что при симметрии кривой относительно оси ординат синусные составляющие раз­ложения в ряд Фурье отсутствуют:

С использованием известного из тригонометрии соотношения

получим:

Коэффициент пульсаций для рассматриваемой формы кривой выпрямленного напряжения составит величину

Перед проведением расчетов цепей с несинусоидальной э.д.с. последняя должна быть представлена рядом Фурье. Если несинусоидальная э.д.с. задана аналитически, то разложение осуществляется по формулам (52), если графически - то графоаналити-ческим методом, который здесь не рассматривается.

Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник. Аналогично, мгновенное значение напряжения на любом участке схемы равно сумме мгновенных значений напряжений отдельных гармоник на этом участке. Расчет производится для каждой из гармоник в отдельности при помощи приемов, изложенных в разделе 3.

Сначала производится расчет токов и напряжений от действия постоянной составляющей э.д.с. После этого производится расчет токов и напряжений от действия первой гармоники э.д.с., затем от второй гармоники э.д.с., от третьей и т.д.

При расчете токов и напряжений от постоянной составляющей э.д.с. необходимо иметь в виду, что падение напряжения на индуктивности L от постоянного тока равно нулю, а также следует иметь в виду, что постоянный ток через емкость С не протекает.

При расчете необходимо учитывать, что индуктивное сопротивление растет прямо пропорционально частоте, поэтому индуктивное сопротивление для k-ой гармоники вK раз больше, чем индуктивное сопротивление для первой гармоники :

(54)

Ёмкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому емкостное сопротивление для k-ой гармоники вk раз меньше, чем емкостное сопротивление для первой гармоники:

Для каждой из гармоник может быть построена своя векторная диаграмма. Но на одной векторной диаграмме откладывать токи и напряжения различных частот, а равно и складывать векторно токи и напряжения различных гармоник недопустимо, поскольку угловые скорости вращения векторов различных частот неодинаковы.

Рассмотрим далее вопрос определения действующих значений несинусоидальных токов и напряжений.

По определению (см, подраздел 3.1), квадрат действующего значения тока I выражается через мгновенное значение тока i следующим образом:

Если ток

,

то

Но

Поэтому

,

или

.

Так как амплитуда k-ой гармоники тока враз больше действующего значенияk-ой гармоники ,то

и

. (56)

Следовательно, действующее значение несинусоидального тока равно квадратному корню из суммы квадратов постоянной составляющей тока и действующих значений отдельных гармоник. От сдвигов фаз действую­щее значение не зависит.

Аналогичным образом определяется действующее значение несинусоидального напряжения.

Под активной мощностью Р несинусоидального тока понимается сумма активных мощностей отдельных гармоник:

.

Полная мощность S равна произведению действующего значения неси­нусоидального напряжения на действующее значение несинусоидального тока:

где определяется по (56),- по аналогичной формуле.

В ряде случаев, например при изучении некоторых простейших свойств нелинейных электрических цепей, несинусоидальные токи и напряжения заменяют эквивалентными синусоидальными. Замена производится таким образом, что действующее значение синусоидального тока принимается равным действующему значению заменяемого несинусоидального тока, а действующее значение синусоидального напряжения берется равным действующему значению несинусоидального напряжения.

Угол сдвига фаз между эквивалентными синусоидами напряжения и

тока берется таким, чтобы активная мощность эквивалентного тока была равна активной мощности несинусоидального тока:

Для того чтобы характеризовать форму несинусоидальной функции, используется ряд показателей. Наиболее распространены следующие: коэффициент формы (см. подраздел 3.1), коэффициент амплитуды, коэффициент искажения, коэффициент гармоник. Дадим их определения на примере токов.

Коэффициентом амплитуды называется отношение максимального значения функции к действующему значению:

К примеру, для синусоидальных функций .

Коэффициентом искажения называется отношение действующего значения основной гармоники функции к действующему значению всей функции:

.

Для синусоидальных функций , следовательно.

Коэффициентом гармоник называется отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники:

Для синусоиды