3.7. Цепи с взаимной индуктивностью

В состав электрических цепей могут входить катушки, магнитно-связанные с другими катушками. Поток одной из них пронизывает другие и наводит в них э.д.с. взаимоиндукции, которые должны быть учтены при расчете. При составлении уравнений для магнитно-связанных цепей необходимо знать, согласно или встречно направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции.

Правильное заключение об этом можно сделать, если известно направление намотки катушек на сердечнике и выбрано положительное направление токов в них.

На рис.51, а катушки включены согласно, а на рис.51, б - встречно. На схемах сердечники не изображают, ограничиваясь тем, что одноименные зажимы (например, начала катушек) помечают точками и взаимную индуктивность - линией со стрелками и буквой М, как показано на рис.51, в, г.

Экспериментальное определение взаимной индуктивности М двух магнитно-связанных катушек легко осуществляется из двух опытов последовательного включения катушек. На рис.52, а изображена схема последовательного согласного включения двух катушек, а на схеме рис. 52, б - последовательного встречного включения тех же катушек с активными сопротивлениями ии собственными индуктивностямии.

При согласном включении магнитные потоки, как свой, так и от соседней катушки, совпадают по направлению. Значит, будут совпадать и наводимые в каждой катушке з.д.с. самоиндукции и взаимоиндукции. Следовательно, и напряжения и, идущие на преодоление этих э.д.с., тоже будут направлены одинаково. Составим уравнения электрического равновесия схемы на рис.52, а по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:

В комплексной форме

или

где

Рассматриваемую цепь из двух катушек, таким образом, можно представить как эквивалентную катушку с параметрами

При встречном включении потоки, собственный и от соседней катушки, будут направлены противоположно, поэтому ибудут направлены противоположно, что отразится уравнением

,

или ,

где

Эквивалентная индуктивность при встречном включении

.

Измерив в схемах на рис.52 экспериментально приложенное к цепи напряжение, ток и активную мощность, можно определить реактивные сопротивления X_согл и X_встр.

Но, с другой стороны,

Отсюда получим

и окончательно

Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности можно вести, составляя уравнения по законам Кирхгофа или методом контурных токов.

Если на электрической схеме токи двух магнитно-связанных катушек одинаково ориентированы относительно одноименно обозначенных зажимов, например, оба направлены к точкам или оба направлены от точек, то имеет место согласное включение, в противном случае - встречное.

Если магнитно связано несколько катушек, то начало и конец размечают для каждой пары катушек отдельно.

Методику составления уравнений рассмотрим на примерах.

Пример 18.

Задана цепь на рис.53. Параметры катушек:К цепи подключена э.д.с. Е=150 В.

Требуется определить все токи и построить векторную диаграмму, определить показание каждого ваттметра и мощности тепловых потерь в каждой из ветвей.

Из рис.53 видно, что катушки соединены согласно, т.к. каждую из них магнитные потоки само- и взаимной индукции пронизывают в одном и том же направлении. На рис.54 вычерчена схема рассматриваемой цепи.

Введем обозначения:

По законам Кирхгофа

(а)

(б)

(в)

Решим совместно уравнения (а) и (б):

Из уравнения (в)

На рис.55 по уравнениям (а) - (в) построена векторная диаграмма. По оси +1 отложен вектор . На основе расчетов построены векторыи. Затем на основании уравнения (а) построены векторы(опережает векторна 90°);(опережает векторна 90°); их сумма дает вектор. Аналогично построены векторы по уравнению (б).

Определяем показания каждого из ваттметров:

Тепловые потери в первой и второй ветвях соответственно равны:

а их сумма равна мощности Р, поступающей во всю рассматриваемую цепь.

Активная мощность = 600 Вт, потребляемая первой ветвью от источника энергии, частично расходуется на тепловые потери в этой ветви, и остальная часть поступает (600-500=100 Вт) в магнитное поле, откуда вследствие взаимной индукции передается во вторую катушку. Это видно из следующего. Напряжение взаимной индукции на первой катушке

а мощность, передаваемая полем из первой катушки во вторую,

Аналогично,

Пример 19.

Требуется определить показание вольтметра и построить векторную диаграмму.

R₁

Система уравнений второго закона Кирхгофа для этого случая будет (токи втекают в разноименные выводы катушек, т.е. включение катушек встречное):

(а)

(б)

Определим токи

Напряжение на сопротивлении Z

следовательно, показание вольтметра будет 11,2 В.

Векторная диаграмма приведена на рис.57. Порядок ее построения таков: на основе расчетов отложены векторы и , далее в соответствии с уравнением (а) отложены векторы (опережает I на 90°), (отстает от на 90°), их сумма дает вектор . Аналогично построены векторы по уравнению (б).