3.4. Основы символического метода

Пусть есть некоторый вектор . Каков будет результат умножения этого вектора наj и на -j?

Представим векторы j и -j в показательной форме:

Произведем умножение:

По модулю результирующий вектор не меняется. Умножение А на j поворачивает исходный вектор на 90° в сторону опережения, т.е. против часовой стрелки, а умножение А на - j поворачивает исходный вектор на 90° в сторону отставания, т.е. по часовой стрелке. Это и показано на рис.33.

С учетом изложенного перейдем к сущности символического метода расчета цепей синусоидального тока. Он заключается в переходе от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений величин, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и э.д.с.

Мгновенные значения тока i заменяют комплексной амплитудой тока

мгновенное значение напряжения на резисторе , равноеRi, заменяют комплексом

мгновенное значение напряжения на индуктивности заменяют комплексом, опережающим ток на 90°;

мгновенное значение напряжения на конденсаторе заменяют комплексом, отстающим от тока на 90°;

мгновенное значение э.д.с. е заменяют комплексом .

Например, для схемы на рис.34 уравнение для мгновенных значений можно записать так:

или

Рис.34

Запишем его в комплексной форме:

Следовательно, для схемы (см. рис 34)

Это уравнение позволяет найти комплексную амплитуду тока через комплексную амплитуду э.д.с.и сопротивления цепиR, и.

Метод называют символическим потому, что ток и каждое напряжение заменяются своими комплексными изображениями, или символами. Так, есть изображение или символ напряжения на индуктивностии т.д.

Комплексная величина имеет размерность сопротивления, называетсякомплексным сопротивлением и обозначается через Z. Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме:

Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через Z. Точку над Z не ставят, потому что принято ставить ее только над такими комплексными величинами, которые отображают синусоидальные функции времени.

Исходное уравнение для рассматриваемой схемы можно записать так: . Поделив обе его части на , получим уравнение для комплексов действующих значений:

. (33)

Уравнение (33) представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX:

Z=R + jX,

где R – активное сопротивление, X – реактивное.

Для схемы на рис.34 реактивное сопротивление

Величина Y, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью.

Единица комплексной проводимости - .

Действительную часть ее обозначают через g, a мнимую - через b. Так как

,

то

(34)

Если X положительно, то и b положительно. При X отрицательном b также отрицательно.

При использовании комплексной проводимости закон Ома (33) запишется так:

где - активная составляющая тока;

- реактивная составляющая тока;

- напряжение на участке цепи, сопротивление которого равно Z.

Модуль комплексного сопротивления

Графическая интерпретация этого выражения называетсятреугольником сопротивлений и приводится на рис 35, а

Рис.35

Аналогично применяется и понятие треугольника проводимостей. Такой треугольник показан на рис.35, б.

Расчет любой цепи переменного тока связан с комплексными числами. Поэтому нужно иметь в виду следующее.

Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить, используя алгебраическую форму записи:

Деление и умножение комплексных чисел удобнее всего производить, пользуясь показательной формой записи:

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Заменив каждый ток его комплексным изображением, получим выражение первого закона Кирхгофа в символической форме:

(35)

Аналогично этому записывается для любого замкнутого контура и второй закон Кирхгофа в символической форме:

(36)

Для расчета цепей постоянного тока разработаны методы на основе первого и второго законов Кирхгофа, с помощью которых вести расчет проще, чем решать систему уравнений, составленных непосредственно по законам Кирхгофа. Но законы Кирхгофа применимы и для синусоидальных цепей переменного тока. Поэтому все рассмотренные методы расчета цепей постоянного тока применимы и здесь. Нужно лишь вместо постоянного тока I использовать комплекс тока , вместо проводимостиg - комплексную проводимость Y, вместо сопротивления R, - комплексное сопротивление Z и вместо постоянной э.д.c.. Е - комплексную э.д.с..

Ток и напряжения на различных участках цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений, вследствие чего с помощью такой диаграммы можно контролировать правильность производимых аналитических расчетов. Рассмотрим это на примерах.

Пример 11.

Рис.36

Замечание. Направление токов, э.д,с. и напряжений на переменном токе изменяются с каждым полупериодом. Поэтому на схемах направления указанных величин обозначаются лишь для одного из полупериодов.

Решение.

Запишем уравнение для мгновенных значений:

Перейдём от него к уравнению в комплексах:

где

Комплекс действующего значения э.д.с,

Ток в цепи

Напряжение на элементах

Если бы в рассматриваемой схеме к элементам подключили вольтметры (эффективного значения), то их показания соответствовали бы модулям найденных комплексов напряжений

Векторная диаграмма изображена на рис.36, б. Вектор , имеющий нулевую начальную фазу, направлен по оси +1. Векторотстает от него на 31°.

Вектор напряжения на индуктивности опережает вектор тока на 90°.

Сумма векторов падений напряжения на элементах схемы равна э.д.с. .

Пример 12.

Схеме на рис.37; а R=4 Ом; . При Е=10 мВ по цепи протекал ток I=2 мА (здесь Е и I не комплексы, а модули). Требуется определить величину емкости конденсатора.

Комплексное сопротивление цепи , его модуль

По закону Ома I=E/z. Отсюда

Следовательно,

Векторная диаграмма изображена на рис.37, б. Начальные фазы ипо условию заданы не были. Поэтому один из указанных векторов, а именно, направлен по оси +1. Расположение остальных векторов определилось относительно вектора. Если бы по оси +1 был направлен вектор, то вся диаграмма повернулась бы на соответствующий угол против часовой стрелки. Но от поворота взаимное расположение всех векторов не изменилось бы.

Пример 13.

На участке разветвленной цепи, как показано на рис.38, а, активное сопротивление численно равно индуктивному. Амперметр показывает 5А.

Что покажет ?

Рис.68

Построим векторную диаграмму, как показано на рис.38, б. Величина вектора взята произвольно, т.к. на решение задачи не влияет. Токотстает от токана 90° и равен ему по величине. Ток неразветвленной части схемы. Модуль токаравенА, Это значение и покажет амперметр.

Пример 14.

Построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы на

Выберем положительные направления токов в соответствии с рисунком.

Ток направим по оси +1, т.е.

(совпадает с током )

(опережает ток на)

(опережает на)

(совпадает с током )

(опережает на)

Анализируя величины и знаки действительной и мнимой частей комплексной величины, можно видеть, что вектор расположен во второй четверти комплексной плоскости. Значит, с учетом периодичности функции арктангенса, уголследует вычислять по формуле:

Следовательно,

Векторная диаграмма с учетом принятого масштаба построена на рис.39, б.