А-4
За промежуток времени t=10c частица прошла 3/4 окружности радиусом R=160см. Найти: 1) среднюю скорость движения <v>; 2)модуль средней скорости перемещенияï<v>ï; 3) модуль среднего вектора полного ускорения ï<a>ï, если частица двигалась из состояния покоя с
постоянным тангенциальным ускорением aτ .
Решение:
1) По определению, средняя скорость движения <V> = S/t,
где S - путь, пройденный телом за время t. В нашем случае S=3pR/2, а
t = t =10 c, тогда
<v> = S/t = 3×3,14×1,6/2×10 » 0,75 (м/с).
2) По определению, средняя скорость перемещения
<v> = Dr/t,
где Dr – вектор перемещения тела за время t. Модуль средней скорости перемещения
ï<v>ï = ôDrô/t. Из рисункаôDrô= 
2 R.
R |
|
∙1 |
|
||
|
r |
|
|
∙ |
|
|
2 |
|
Тогда ï<v>ï = ôDrô/t = 
2 R/t = 1,4×1,6/10 » 0,22(м/с).
3) По определению, средний вектор полного ускорения <a> = DV /t, где Dv = v2–v1 - изменение вектора скорости за время t.
Модуль среднего вектора полного ускорения ï<a>ï=ïDvï/t = ïv2–v1ï/t = V2/t (по условию V1=0).
Так как по условию тангенциальное ускорение aτ = const, то модуль V2=aτ×t; пройденный частицей путь S = aτ×t2/2, откуда aτ = 2S/t2. Тогда ï<a >ï=V2/t=aτ×t/t=aτ=2S/t2=3pR/t2=3p×1,6/100»0,15 (м/с2).
А-5
Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
ϕ = 6t - 2t3(рад).
Найти: 1) среднюю угловую скорость <w> как функцию от t; 2) среднее значение углового ускорения в промежутке времени от 0 до остановки; 3)угловое ускорение в момент остановки; 4) полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,2м от оси вращения в момент времени t=0,5c.
Решение:
1) По определению, средняя скорость вращения
<ω>=Dϕ/Dt = (ϕt-ϕ0)/t.
По условию задачи ϕt = 6t - 2t3; ϕ0 = 0, поэтому<ω> = (6 – 2t2)рад/с. 2) По определению, среднее ускорение
<e> = w/ t ,
где w - изменение угловой скорости за время t = tост – t0 = tост.
Момент остановки tост найдем из условия wмгн= 0. По определению
wмгн= dj/dt .
В нашем случае
wмгн= dj/dt = 6 – 6t2= 0,
откуда tост = 1с, а <e> = (wост - w0)/tост = (0 – 6)/1 = – 6 (рад/с2). 3) По определению, угловое ускорение
e = dw/dt = – 12t .
В момент остановки (tост = 1 с) ускорение равно eост= – 12 рад/с2.
4) Полное ускорение находится как векторная сумма двух взаимно
перпендикулярных ускорений: тангенциального и нормального (aτ и an), связанных с угловыми характеристиками вращательного движения следующим образом:
aτ = eR×τ и an = w2R×n,
где τ и n единичные векторы касательной и нормали |
∙ |
aτ |
|||||||
к траектории движения точки. |
|
a |
|
||||||
Модуль полного ускорения : |
|
n |
a |
|
|||||
|
|
|
|||||||
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
+ a 2 = (e r)2 + (w 2 r)2 |
= |
|
|
|
|||
|
|
τ |
n |
|
|
|
|
||
= |
(- 12 × 0,5 × 0,2)2 + ((6 - 6 × 0,52 ) × 0,2)2 = 4,2(м / с2 ). |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
А-6 |
|
|
||
|
|
Точка движется в плоскости XOY по закону: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x = 5sinwt; |
y = 5(1-coswt). |
|
|
|
Найти: 1) путь, пройденный телом за 6с; 2) угол между векторами скорости v и ускорения a; 3) траекторию движения у=f(x).
Решение:
1) Путь, пройденный точкой: s = òvdt, где v- модуль вектора скорости точки, определяемый как v = 
v2x + v2y .
По условию задачи x = 5sinwt; y = 5(1-cos wt) , поэтому vx = dx/dt = 5wcoswt; vy = dy/dt = 5wsinwt;
v = 
(5w cosw t)2 + (5w sin w t)2 = 5w (м/с). Тогда путь, пройденный телом за 6 секунд
S = òt |
5w dt = 5w t |
|
6 |
= 30w (м/с). |
|
||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2) Для нахождения угла между векторами скорости v и ускорения a воспользуемся скалярным произведением векторов V и a:
v×a = v×a cos j, откуда cos j = (v×a)/( v×a).
В координатном представлении скалярное произведение: v×a = vxax + vyay,
где ax = dVx/dt = - 5ω2sinωt; |
ay = 5ω2cosωt. |
||||
|
|
|
|
|
|
Модуль вектора ускорения |
a = |
|
a 2x + |
a 2y = 5w 2 . |
|
При подстановке в формулу для |
cosϕ |
, получим: |
|||
cosj = |
- 25w 3 sin w t cosw t + 25w 3 sin w t cosw t |
= 0 |
|
5w ×5w 2 |
|
||
Поэтому j = p/2 . |
|
|
|
|
|
|
|
3)Чтобы найти траекторию движения материальной точки, |
выразим из |
||
уравнений движения sin wt = x/5 и cos wt = 1 – y/5. |
|
|
|
Возведя в квадрат полученные уравнения и сложив их почленно, получим траекторию движения:
x2/25 + (1 – y/5)2 = 1 или x2 + (5 – y)2 = 25. Траектория движения - окружность.