Л.Р.Механика
.pdf
коэффициент Стьюдента, значение которого находится по таблице 1 стр.9 (доверительная вероятность 
определяется преподавателем).
9.Запишите окончательный результат в виде V 
V 
V , проанализируйте его и сделайте вывод.
Вопросы для контроля
1.Что такое «крутильно-баллистический маятник» ? Как он устроен, как на нем выполняется данная лабораторная работа?
2.Сформулируйте законы сохранения момента импульса и механической энергии и условия их выполнимости.
3.Запишите в формульном виде законы сохранения момента импульса и механической энергии для баллистического маятника и пули в данном лабораторном эксперименте; поясните все величины, входящие в эти выражения. Для каких моментов времени записаны эти законы ?
4.Продемонстрируйте вывод рабочей формулы, которая используется для экспериментального определения скорости полета пули в данной работе.
5.Объясните смысл полученных Вами экспериментальных дан-
ных.
Библиографический список
1.Савельев И.В. Курс общей физики.- Издательство «Наука», 1977. §24, 29.
2.Трофимова Т.И. Курс физики.- Издательство «Высшая школа», 1997. §13, 19.
3.Ивлиев А.Д. Физика: Учебное пособие. - СПб.: Издательство
«Лань», 2008. § 1.4.2, §1.4.3.
23
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА.
ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
Цель работы: определение моментов инерции тел, экспериментальная проверка свойства аддитивности момента инерции и теоремы Штейнера.
Описание лабораторной установки и оборудования
Установка (рисунок 1) состоит из круглой нижней платформы ра-
диусом 
и массой 
, подвешенной
тремя нитями длиной |
к верхней |
платформе меньшего радиуса 
. Верхняя платформа закреплена в центре так, что её можно поворачивать вокруг оси симметрии ОО΄. Для выполнения эксперимента используют тела различной формы, которые размещают на нижней платформе. Для измерения времени используется секундомер.
Рис.1.
Общие сведения Физические основы эксперимента
Момент инерции тела 
– это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении. Для точечного тела
массой 
, вращающегося по окружности радиусом 
, момент инерции определяется формулой:
I m r 2 . |
(1) |
В соответствие с этим для тела с бесконечно малой массой 
:
dI dm r 2 |
(2) |
24
Момент инерции любого тела можно рассчитать, используя выражение (2). Для этого тело «разбивают» на микрообъемы с массами 
. Считая каждый из таких микрообъемов точечным телом, находят момент инерции 
каждого из них по формуле (2) и все 
суммируют:
I dI dm r 2 |
(3) |
Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести, определятся:
а) для стержня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
1 |
m |
l 2 . |
|
(4) |
||
|
|
СТ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
12 |
CT |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) для диска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I Д |
|
1 |
m |
Д r 2 . |
|
(5) |
|||||
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) для кольца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
1 |
m |
|
R2 |
|
R2 |
, |
(6) |
||
k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
k 1 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где m Д - масса диска; r - радиус диска; mk - масса кольца;
R1 - внутренний радиус кольца;
R2 - внешний радиус кольца; mСТ - масса стержня;
l – длина стержня.
Момент инерции I тела относительно произвольной оси определяется суммой момента инерции Iц тела относительно параллельной ей
оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния a между этими осями, согласно теореме Штейнера:
I I |
ц |
ma 2 . |
(7) |
|
|
|
Экспериментально момент инерции тела можно определить с помощью крутильного маятника (рисунке 1). Если верхнюю платформу повернуть на ма-
25
лый угол, то нижняя платформа будет совершать крутильные колебания вокруг оси ОО΄.
Пренебрегая силами трения в системе, можно считать постоянной полную механическую энергию. В точке максимального закручивания платформа подни-
мается на высоту h , при этом полная энергия равна потенциальной энергии
|
|
|
EП |
|
mgh , |
|
|
|
|||||||||||||
где m - масса платформы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При прохождении положения равновесия платформа движется с макси- |
||||||||||||||||||||
мальной угловой скоростью |
m , при этом полная энергия равна кинетической |
||||||||||||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
I |
m2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
K |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где I |
– момент инерции платформы.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
По закону сохранения энергии: mgh |
|
|
|
|
I m2 |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Из этого уравнения получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
I |
|
|
2mgh |
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как малые колебания можно считать гармоническими, то колебания |
||||||||||||||||||||
нижней платформы проходят по закону: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
m sin |
|
2 |
|
t |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
m – максимальный угол поворота; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T - период колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угловая скорость: |
|
d |
|
|
|
|
2 |
|
|
cos |
2 t |
m cos |
2 t |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
T |
||||||
|
То есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
(9) |
|||||||
|
|
|
|
m |
|
m |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
||||||||||||||||
Из геометрических соображений [1]:
26
|
|
|
|
|
h |
|
rR |
m2 |
. |
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
||
|
Тогда из (8), (9) и (10): |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
I |
gRr |
mT 2 |
|
kmT 2 , |
(11) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
2 L |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где k |
|
gRr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
4 2 L |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Используя формулу (11) |
можно рассчитать момент инерции, как |
||||||||
ненагруженной платформы I 0 , так и нагруженной платформы I . Пользуясь свойством аддитивности момента инерции, момент инерции тела на
платформе Iтела рассчитывается как: |
|
|
I тела |
I I 0 . |
(13) |
Порядок выполнения работы и обработка экспериментальных данных Задание 1. Определение момента инерции тел
1. Занести данные установки (
, 
, 
, 
) в таблицу 1 и по заданию преподавателя параметры тел (для диска – массу m Д и радиус r ,
для кольца - массу кольца mk , его внутренний R1 и внешний R2 радиу-
сы, для стержня – массу mСТ и длину l ) в таблицу 2.
2.Поворотом верхней платформы вывести нижнюю ненагружен-
ную платформу из положения равновесия так, чтобы она совершала крутильные колебания с амплитудой 5-10°. Измерить время t полных 50
100 колебаний и внести в таблицу 1.
3.Повторить пункт 2 для платформы с телом (стержень, кольцо или диск), помещенным в центр платформы.
4.Вычислить периоды колебаний To (ненагруженной платфор-
мы), и T (ненагруженной платформы) по формуле T |
t |
, |
|
||
1 |
n |
|
|
||
где n – число колебаний. |
|
|
5.Рассчитать k по формуле (12).
6.Рассчитать момент инерции ненагруженной платформы
27
I |
o |
km T 2 |
|
|
|
||
|
|
o o |
|
|
|
||
7. Рассчитать относительную |
погрешность |
измерения момента |
|||||
инерции ненагруженной платформы |
I0 |
|
2 |
T0 |
и записать в табли- |
||
I0 |
T0 |
||||||
цу 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Так как измерение проводиться |
однократно, то погрешность |
||||||
T0 определяется исходя из погрешности измерительного прибора. то
есть в данном случае секундомера.
8. Вычислить абсолютную погрешность измерения момента
инерции ненагруженной платформы I |
|
2 T0 I0 |
и записать в таб- |
|
0 |
T0 |
|||
|
|
|||
|
|
|
лицу 1.
9. Рассчитать момент инерции нагруженной платформы по фор-
муле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
|
k m |
|
m |
T 2 |
||||||
|
|
|
|
|
o |
|
|
T |
1 |
|
|||
где mo - масса платформы, mT |
– масса тела. |
|
|
|
|||||||||
10. |
Рассчитать относительную погрешность измерения момента |
||||||||||||
инерции нагруженной платформы |
|
|
I1 |
|
2 |
|
To |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
T1 |
|||||
11. |
Вычислить абсолютную |
погрешность измерения момента |
|||||||||||
инерции нагруженной платформы: |
I1 |
|
2 |
|
To I1 |
|
|||||||
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
||
12. |
Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать момент инер- |
||||||||||||
ции тела Iэксп I1 Io . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Рассчитать абсолютную погрешность измерения момента
инерции тела I |
|
I1 |
I0 |
и записать в таблицу 2. |
эксп |
|
|
||
|
I1 |
I0 |
||
|
|
|||
14.Используя формулы (4), (5), (6) рассчитать теоретическое значение момента инерции тела Iтеор .
15.Рассчитать относительную погрешность определения момента инерции тела по отношению к теоретической по формуле:
28
Iтеор |
I эксп |
100% |
|
I |
теор |
||
|
16.Результаты занести в таблицу 2.
17.Проанализировать результаты и сделать выводы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Параметры ус- |
|
|
n |
t,с |
|
Т o ,с |
I |
o |
, |
|
|
|
|
Io |
|
|
|
Io |
||||||
тановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг∙м |
2 |
|
|
|
|
Io |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Параметры |
|
|
n |
t, с |
|
T1,с |
|
I |
эксп , |
Iтеор |
, |
|
|
I эксп |
|
,% |
||||||||
тел |
|
|
|
|
кг∙м |
2 |
кг∙м |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
стержень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кольцо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1а. Определение момента инерции тел |
|
|
|||||||||||||||||||||
1. Занести данные установки ( , |
, |
|
, |
|
|
|
) в таблицу 1а и по |
|||||||||||||||||
заданию преподавателя параметры тела, с которым будет проводится эксперимент (для диска – массу m Д и радиус 
, для кольца - массу коль-
29
ца mk , его внутренний R1 и внешний R2 радиусы, для стержня – массу
mСТ и длину l ), в таблицу 2а.
2. Поворотом верхней платформы вывести нижнюю ненагруженную платформу из положения равновесия так, чтобы она совершала крутильные колебания с амплитудой 5-10°.
Измерить время 
полных 
=10 колебаний ненагруженного маят-
ника 
=8-10 раз и внести в таблицу 1a.
3. Повторить пункт 2 для платформы с телом (стержень, кольцо или диск), помещенным в центр платформы. Полученные данные занести в таблицу 2а.
|
|
4. Для каждого измерения рассчитайте период колебаний T |
||
= |
t |
и средние значения периода колебаний ненагруженного |
T |
и на- |
|
||||
|
N |
|
o |
|
|
|
|
|
|
груженного маятника 
T 
. Данные расчетов занесите в таблицы 1а
и 2а.
5.По формуле 6 (стр.7) рассчитайте средние квадратические по-
грешности So и SТ определения To и T . Полученные данные занесите
втаблицы 1а и 2а.
6.Рассчитать k по формуле (12).
7.Рассчитать и занести в таблицу 1а среднее значение момента инерции ненагруженной платформы:
I |
o |
k m |
T 2 |
|
o |
o |
8. Рассчитать и занести в таблицу 2а среднее значение момента инерции нагруженной платформы:
I k m |
|
m T 2 |
o |
Т |
|
где mo - масса платформы, mT |
– масса тела. |
|
9. Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать момент инерции тела Iэксп 
I 
Io 
и занести его в таблицу 2а.
10. По формуле S |
So2 ST2 найдите среднюю квадратиче- |
скую ошибку определения I эксп .
30
11.Используя формулу (8) на стр.8 рассчитайте доверительный интервал I определения I эксп .
12.Окончательный результат экспериментального определения
момента инерции тел запишите в виде: I I эксп |
I . |
13.Рассчитайте теоретическое значение момента инерции исследуемого тела по одной из формул (4), (5), (6) и сравните его с экспериментальным.
14.Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1а |
||
|
|
|
|
|
Ненагруженный маятник |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры ус- |
|
n |
|
|
t, с |
Т o , |
Тo |
, |
|
Io , |
|
|
So |
|||
|
тановки |
|
|
|
|
с |
с |
|
|
кг∙м2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
, м |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2а |
||
|
|
|
|
|
|
Нагруженный маятник |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры |
n |
|
t,с |
|
|
Т ,с |
|
Т , с |
I |
, |
|
I эксп |
, |
|
SТ |
|
|
тел |
|
|
|
|
кг∙м2 |
|
кг∙м2 |
|
|
|
||||||
|
стержень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кольцо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
Задание 2. Проверка свойства аддитивности момента инерции
1.Записать в таблицу 3 массу платформы mo , массу кольца
ипараметры установки.
2.Установить одно кольцо в центре платформы и измерить время 50 100 полных колебаний. Занести результат в таблицу 3.
3. Вычислить период колебания по формуле Тo |
t |
, |
|
n |
|||
|
|
||
где n – число колебаний. |
|
|
4.Пункты 1-3 повторить для двух и трех колец, одновременно установленных в центре платформы.
5.Рассчитать k по формуле (12)
6.Рассчитать моменты инерции нагруженной платформы по
формуле
I k m |
b m T 2 |
, |
0 |
k |
|
где b - количество колец ( b 1, 2, 3), установленных на платформе. Полученные данные занести в таблицу 3.
7. Построить график зависимости I (b) (рисунке 2). Продолжив график до пересечения с осью I , найти момент инерции ненагруженной платформы Io . Определить по графику I1 , I2 , I 3 .
8.Все результаты занести в таблицу 3.
9.Проанализировать результаты расчетов и сделать выводы.
Рис.2.
32