Основы научных исследований в горном деле

Значимость коэффициентов регрессии устанавливают с помощью критерия (мерило оценки) Стьюдента:

а) по доверительному интервалу (∆b) критерий имеет вид

|bi | ≥ ∆b;

б) сравнением расчетного (t p ) и табличного (tT ) значения

критерия t p >tT .

Адекватность (соответствие, приравнивание) полученной модели определяют по критерию Фишера FT > Fp , где FT − таб-

личное значение, Fp − расчетное значение.

После проверки адекватности модели осуществляют интерпретацию (истолкование, перевод на более понятный язык) результатов. Определив экспериментально коэффициенты регрессии при нормированных факторах, переходят к полиному в натуральном масштабе, т.е. с фактическими значениями факторов и это означает конец решения задачи.

Кодовые значения факторов xi связаны с натуральными значениями Xi соотношением

где Xi0 − натуральное значение фактора на основном уровне; ∆Xi − натуральное значение интервала варьирования.

Натуральное значение фактора на основном уровне (среднее значение) определяется из выражения

101

гдеX max , X min − натуральное максимальное и минимальное зна-

чение фактора.

Натуральное значение интервала варьирования может быть определено из выражения

6.3Планирование эксперимента для получения математической модели исследования

Порядок планирования эксперимента [24]:

− сделать анализ априорной (предшествующей) информа-

ции;

−выбрать основные (нулевые) уровни факторов, интервалов варьирования. Определить верхние и нижние уровни факторов;

−составить матрицу планирования, определить число и последовательность опытов.

После проведения экспериментов по матрице планирования полученные результаты проверяются на соответствие закону нормального распределения.

6.3.1 Проверка гипотез о нормальном законе распределения.

Проверку согласия эмпирического закона распределения случайной величины с теоретическим распределением рекомендуется производить с помощью Wp критерия.

Проверка с помощью критерия согласия Wp является эффек-

тивным методом для оценки справедливости о нормальном распределении, даже если число наблюдений относительно невелико.

Чтобы использовать критерий для случайной выборки объемом, когда N <50, с наблюдаемыми значениями x1, x2 ...xN по-

ступаем следующим образом:

− располагаем полученные наблюдения в виде упорядоченной выборки значений x1, x2 ,...xN , где x1 < x2 < ... < xN ;

102

− сравниваем вычисленное значение Wp с процентилиями

этого критерия [24, таблица 5].

Если вычисленное значение критерия Wp больше таблично-

го, то гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины x не отвергается.

6.3.2 Обработка результатов эксперимента. Рекомендует-

ся следующая схема обработки результатов эксперимента с равномерным дублированием опытов:

− определяется средний арифметический yk результатов

параллельных опытов для каждой строки матрицы планирования производится по формуле

103

n

∑ yJ

где yJ − результат отдельного опыта.

Производится оценка дисперсии среднего арифметического в каждой строке матрицы планирования производится по выражению

где J – номер опыта, u – номер повторного определения отклика в J-ом опыте; yu J − результат J-го опыта при u – ом определении;

yJ − среднее арифметическое значение откликов J-го опыта.

Проверка однородности построчных дисперсий: если сравниваемое число дисперсий больше двух и одна из них значительно превышает остальные, можно воспользоваться критерием Кохрена. Критерий Кохрена используется в том случае, когда во всех точках имеется одинаковое число повторных опытов

S 2

G p = Nmax , (6.19)

∑J SJ2

N

где G p − расчетный критерий Кохрена; ∑SJ2 − сумма всех дис-

J

персий, включая максимальную дисперсию.

Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает табличного значения при определенном уровне значимости [24, таблица 6]

G p < GТ .

Рекомендуется уровень значимости α =0,05 (реже α =0,01).

104

Определение дисперсии всего эксперимента. При однородности построчных дисперсий матрицы планирования определяется дисперсия всего эксперимента по выражению

где i – номер фактора, j – номер опыта.

Проверка значимости коэффициентов регрессии. Дисперсия коэффициентов регрессии определяется по выражению

где S{2y} – дисперсия эксперимента.

При использовании ПФЭ дисперсии всех коэффициентов равны.

Проверку значимости коэффициентов регрессии можно провести двумя равноценными способами:

1. Сравнением абсолютной величины коэффициента регрессии с его доверительным интервалом, причем доверительный интервал определяется по выражению

где tТ – табличное значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости [24, таблица 7].

105

Коэффициент считается статистически значимым, если его абсолютная величина больше абсолютного значения доверитель-

ного интервала bi >∆b .

2. Сравнением расчетного значения t p – критерия с таблич-

Если t p >tТ , то коэффициент регрессии значим.

Гипотезу об адекватности уравнения регрессии обычно проверяют с помощьюFp – критерия Фишера, значение которого оп-

ределяется по формуле

где K ′ – число значимых коэффициентов регрессии, включая В0 . Если Fp < FТ , то гипотезу адекватности принимают ( Fp ) –

табличное значение критерия Фишера определяют по данным

[24, таблица 8].

6.3.3 Интерпретация результатов. Устанавливают, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр исследования. Количественной мерой этого влияния является кодированная (в нормированном виде) величина коэффициентов регрессии. Чем больше влияние фактора, тем больше соответствующий коэффициент регрессии.

106

Знаки коэффициентов регрессии указывают на характер влияния факторов; положительные коэффициенты свидетельствуют о том, что при увеличении факторов увеличивается отклик; при отрицательном коэффициенте регрессии с увеличением фактора отклик уменьшается.

Факторы, коэффициенты которых незначимы, при данных интервалах варьирования и ошибка воспроизводимости не оказывает существенного влияния на исследуемый параметр, не интерпретируются.

Если эффект взаимодействия двух параметров значим и имеет положительный знак, то для увеличения отклика следует одновременно увеличивать или уменьшать значение факторов; если эффект взаимодействия отрицателен, то для увеличения отклика следует изменять факторы в противоположных направлениях.

Если эффект взаимодействия трех факторов значим и положителен, что имеет место в случае, если отрицательные знаки будут у четного числа факторов, то для увеличения отклика следует увеличивать факторы, если все факторы положительны, или увеличивать один фактор с положительным знаком и уменьшать два других фактора, которые отрицательны.

Если при построении интерполяционной формулы линейная модель неадекватна, то прежде всего целесообразно включить в уравнение эффекты взаимодействия, причем после их введения может не хватить степеней свободы и потребуется реализация еще двух-трех опытов внутри области эксперимента для проверки гипотезы адекватности. Все остальные способы построения интерполяционной формулы связаны с необходимостью проведения новых опытов.

Переход от кодированных значений к натуральным значениям факторов осуществляется по формуле (6.11).

6.4Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (метод крутого восхождения)

107

Задача метода крутого восхождения заключается в том, чтобы шаговое движение осуществлять в направлении наискорейшего возрастания (или убывания) выходной переменной.

Метод крутого восхождения позволяет определить влияние каждого фактора, наметить направление изменения значений факторов для достижения оптимума, получить линейное описание локальной области изучаемого объекта. Поиск прекращается, когда квадратичные эффекты в уравнении регрессии становятся значительными. Это означает, что достигнута область оптиума (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 – Поиск оптимальных условий (метод крутого восхождения)

6.4.1 Порядок планирования эксперимента. Рекомендуется провести следующие действия:

–принять значения факторов, которые близки к оптимальным – нулевой и интервал варьирования;

–составить матрицу планирования и провести серию опы-

тов:

108

–определить для каждого фактора коэффициент регрессии. Знак коэффициента показывает, уменьшить или увеличить от нулевого уровня данный фактор, а его величина – на сколько единиц варьирования изменить;

–сделать несколько шагов до получения максимального значения.

6.4.2 Обработка результатов эксперимента. Определяются значения коэффициентов уравнения регрессии (формула 6.21).

Определяются ошибки опытов σ y по формуле

При G p <GT – опыты равноточны для степеней свободы f = N − n −1.

Определяются ошибки значений коэффициентов регрессии по формуле

(полученные значения коэффициентов линейных членов должны значительно превышать ошибку их определения В>σВ).

Проверяется также достоверность значений коэффициентов с помощью t p – критерия Стьюдента по формуле

(при t p >tT – значения коэффициентов неслучайны и y зависит от факторов).

109

Адекватность линейного приближения проверяется с помощью Fp – отношения по формуле

При Fp < FT – гипотеза адекватности принимается для степеней свободы f1 = N − n −1 и f2 = N (n −1).

Определяется величина единичного шага изменения факторов (∆ = B S ) в сторону оптимума до тех пор, пока дальнейшее движение не приведет к уменьшению y (по полшага)

6.4.3 Принятие решений после крутого восхождения. После построения математической модели проводится несколько “мысленных” опытов, т.е. в модель подставляют значения факторов с учетом выводов (сами эксперименты не проводят). Здесь может быть несколько случаев:

1.Крутое восхождение эффективно. Движение считается эффективным, если реализация “мысленных” опытов улучшает значение переменной по сравнению с самым хорошим результатом в опытах крутого восхождения. Наилучшая точка принимается за центр нового плана. Если имеется информация о близости области оптимума (обычно при неадекватности линейной модели), то принимается решение в постановке плана второго порядка.

2.Крутое восхождение не эффективно. Причиной неэффективности может быть неадекватная линейная модель. Необходимо вернуться к исходному плану и построить адекватную линейную модель (изменять интервалы варьирования, переходить от дробных планов к полным и т.д.). Область оптимума далека, а математическая модель адекватна

Пример

110