Основы научных исследований в горном деле

7. После подстановки входящих в выражение сумм запишем систему уравнений

83 = 5a = 225b

3930 = 225a + 2375b.

8. Решим систему уравнений, находим значения коэффициентов a и b (a = 12,7;b = 0,087 ) и получаем эмпирические уравнение вида

y= 12,7 +0,087 x.

9.Находим вычисленные средние значения yx по уравне-

нию и сравниваем с исходными данными (расчетные величины (см.таблицу) незначительно отличаются от фактических).

10. Оценку точности полученной эмпирической зависимости определяем с помощью корреляционного отношения по формуле

т.е хорошая связь.

Пример 2

На основе экспериментальных данных получить эмпирическое уравнение и оценить её точность.

Имеются следующие экспериментальные данные:

2. Построим графическое изображение кривой согласно исходным данным:

3. Устанавливаем вид кривой и подбираем наиболее приемлемое математическое уравнение с учетом физической сущности рассматриваемого явления (уравнение гиперболического типа)

y= a +xbx

4.Определяем пригодность формулы методом выравнивания (для данного уравнения координаты прямолинейного преоб-

разования: x;u = xy ).

5. Подставляем в исходное уравнение новые координаты

ux = a +xbx

иполучаем линейное уравнение вида u = a +bx

6.Тогда нормальная система уравнений будет иметь вид

∑u = an +b∑x

∑ux = a∑x +b∑x2 .

92

7. Для решения системы уравнений составим таблицу. Вычисленные значения сумм, входящих в уравнение

8. После подстановки входящих в уравнение сумм запишем систему уравнений

38,1 = 5a + 225b

1879,1 = 225a +12375b .

9. Решая систему уравнений находим значения коэффициентов a и b (a = 4,33,b = 0,075) и получаем линейное эмпирическое уравнение вида

u= 4,33 +0,073x.

10.Используя выражение координаты линейного преобразования u = xy переходом от полученного линейного уравнения к

исходному криволинейному

xy = 4,33 +0,073x

и запишем это выражение в окончательном виде

y = x

4,33 +0,073x

11. Вычисляем по уравнению y расч. и сравниваем с исходными данными ( y расч. мало отличается отyфакт.).

93

12. Оценку точности полученной эмпирической зависимости определяем с помощью корреляционного отношения по формуле

=0,99,

т.е связь хорошая.

5.4Методы анализа связи между параметрами изучаемого процесса

5.4.1 Метод регрессивного анализа. Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или нескольких величин [20, 23].

Связи, исследующие взаимодействие случайных и неслучай-

ных величин называются регрессионными.

Случайное явление то, которое при многократном воспроизведении одного и того же эксперимента, протекает каждый раз несколько по-иному. Неслучайные связи являются закономерными.

Метод регрессионного анализа предназначен для вскрытия вход-выходных зависимостей между двумя или несколькими величинами (параметрами) изучаемого процесса или явления.

Задача сводится к выбору функции модели, нахождению коэффициентов уравнения регрессии, проверке его адекватности (соответствие, правдоподобность) и определению доверительных интервалов для коэффициентов.

Коэффициенты регрессии определяются методом наименьших квадратов.

Адекватность модели устанавливается по критериям Фишера и Стьюдента. Если расчетная величина коэффициента Фишера меньше табличного значения, то это означает, что полученное уравнение с соответствующей вероятностью описывает опытные

94

данные. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии находят с заданной вероятностью (0,95 или 0,99) по величине критерия Стьюдента (если расчетное значение больше табличного – коэффициент регрессии значим).

5.4.2 Метод корреляционного анализа. Корреляция − соот-

ношение, сопоставление. Две случайные величины являются корреляционно связанными, если математическое ожидание (среднее значение) одной из них меняется в зависимости от изменения другой.

Корреляционный анализ – это совокупность вычислительных процедур, позволяющих определить степень связи между случайными параметрами, не имеющими функциональной связи. Задача заключается в нахождении зависимости и выявлении тесноты связи (коэффициента корреляции). В простейшем случае определяется связь между двумя величинами (парная корреляция).

При линейной связи оценка осуществляется коэффициентом корреляции, при нелинейной связи – корреляционным отношением (индекс корреляции).

Коэффициент корреляции r изменяется в пределах от 1 до -1, т.е. между факторами может существовать положительная (прямая) связь или отрицательная (обратная):

r = 0 … 0,5 – связи нет;

r = 0,5 … 0,75 – слабая связь;

r = 0,75 … 1,0 – хорошая (тесная) связь. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

95

где y расч. − расчетное значение функции (по формуле).

5.4.3 Множественная корреляция. Под множественной кор-

реляцией понимается установление статистической связи между функцией и вероятностными переменными

Если диапазон изменения аргументов велик, пользуются линейным уравнением множественной корреляции

Для множественной корреляции, также как и для парной корреляции, может быть рассчитан коэффициент множественной корреляции.

Расчеты множественной корреляции трудоемкие и в настоящее время полностью выполняются на ЭВМ. Достоверность полученных моделей оценивается по критериям Фишера, Стьюдента, как и в регрессионном анализе. Модели, установленные методом корреляционного анализа, достоверны только для исследуемого объекта. Использовать из при анализе других аналогичных объектов нельзя.

5.4.4Метод дисперсионного анализа. Дисперсия – рассеяние

(мера рассеивания, отклонения от среднего).

Метод дисперсионного анализа применяется для того, чтобы установить факторы, влияющие на процесс, и отсеять факторы, влияние которых незначительно.

Дисперсионный анализ основан на том, что исходные переменные, степень влияния которых на выходную величину необходимо определить, являются независимыми. Сущность дисперсионного анализа заключается в проверке гипотезы о равенстве средних.

5.4.5Применение ЭВМ в научных исследованиях. ЭВМ используют для автоматизации и обработки результатов наблюдений (сбор первичного материала, предварительная обработка данных, хранение сведений, контроль за ходом опыта, окончательную обработку и выдачу результатов). ЭВМ позволяет решать дифференциальные уравнения и системы уравнений, нахождение корней уравнений высоких степеней, численное интегрирование, обработку экспериментальных данных методами наи-

96

меньших квадратов, регрессионного и корреляционного анализов и т.д.

Современные ЭВМ имеют большие библиотеки, содержащие программы (банки данных) для различных задач.

Контрольные вопросы и задания

1.Что включает первичная обработка экспериментальных данных?

2.Какие основные оценочные характеристики используются при обработке экспериментальных данных?

3.Какой интервал значений измеряемой величины называется доверительным?

4.В чем заключается способ отсева грубых ошибок – «правило трёх сигм»?

5.Что означают теоретическая и эмпирическая линии регрессии?

6.В чем заключается сущность метода наименьших квадра-

тов ?

7.Какие явления называются случайными?

8.Какие методы используются для оценки связи между параметрами изучаемого процесса?

9.При каких связях используется коэффициент корреляции

икакие значения оно приобретает?

10.При каких связях используется корреляционное отношение и какие значения оно имеет?

97

6ПЛАНИРОВАНИЕ АКТИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА

РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ

6.1 Общие положения и понятия

При пассивной схеме эксперимента (один из исследуемых факторов изменяется, а остальные стабилизируются) с увеличением исследуемых факторов повышается количество опытов, возрастает трудоемкость и длительность экспериментов.

Математическая теория планирования эксперимента позволяет исследователю проводить опыты целенаправленно. Изучаемые факторы изменяются при этом одновременно по заранее разработанному плану, что значительно сокращает количество опытов [1, 24].Различают планирование эксперимента для нахожде-

ния математической модели процесса и оптимальных парамет-

ров (задача оптимизации). Обычно эти задачи решают совместно. Объектом исследования называют изучаемые процесс, агрегат, физическое явление. Он должен быть воспроизводим и управляем. Изучаемый объект описывается моделью в виде полинома первого, второго и третьего порядка (как правило , модели

более высоких степеней не рассматриваются).

Факторами называются независимые величины, с помощью которых можно воздействовать на исследуемый объект.

Уровнями называются определенные значения, которые могут принимать факторы.

При планировании активного эксперимента устанавливают два или три уровня значений факторов. Двухуровневые факторы задают граничными значениями (минимальными и максимальными), а трехуровневые – минимальными, средними и максимальными значениями. После масштабного перехода в первом случае получают числа (-1;+1), а в последнем (-1;0,+1), которые называются нормированными уровнями.

Параметром оптимизации или функцией отклика назы-

вается количественно найденная характеристика процесса.

98

Методы планирования эксперимента позволяют установить зависимость между рядом факторов и одним параметром.

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов.

Общее число опытов полного факторного эксперимента при равномерном дублировании каждого определяется по формуле

где N − общее число опытов; n − число параллельных опытов, p − число уровней; k − число факторов.

При планировании эксперимента для трех факторов k =3 и двух уровней p =2 общее число опытов при двукратном дубли-

ровании каждого опыта (n =2) равно

N = 2 23 = 16 опытов.

Условия эксперимента записываются в виде таблицы –

матрицы планирования эксперимента, строки которой соответ-

ствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Матрица планирования ПФЭ при двух факторах и с учетом

их взаимодействия приведена в таблице 6.1.

Уравнение регрессии в общем виде представляется полино-

мом

99

или для двух факторов (согласно таблице 6.1)

6.2Проведение опытов и обработка результатов исследований

После разработки плана эксперимента приступают к выполнению опытов в случайной последовательности, чтобы исключить влияние неучтенных регулярных ошибок (согласно теории случайных чисел). Для расчета коэффициентов регрессии (эффектов факторов) по данным опытов используют уравнения:

Так как значения факторов равно +1 или –1, то определение коэффициентов сводится к алгебраическому суммированию результатов каждого опыта со знаком, соответствующим значению фактора.

Для данных таблицы 6.1 коэффициенты регрессии определяются по следующим выражениям:

100