§ 14. Закон больших чисел

В 1913 г. В России был отмечен необычный юбилей − двухсотлетие закона больших чисел. В 1913 г. Была переведена на русский язык «Часть четвертая сочинения Я. Бернулли», опубликованного в 1713 г. через 8 лет после его смерти. Само название «закон больших чисел» принадлежит Пуассону (1781 − 1840).

Что такое «закон больших чисел»?

Под «законом больших чисел» в широком смысле слова понимается общий принцип, согласно которому (по словам А.Н. Колмогорова) совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

В узком (математическом) смысле слова закон больших чисел – это ряд теорем, в которых при тех или иных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Для каждой случайной величины нельзя предвидеть, какое она примет значение в итоге испытания. Но поведение суммы большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным, здесь необходимое прокладывает себе дорогу сквозь множество случайностей.

Исторически первой формулировкой больших чисел считается теорема Бернулли, опубликованная в 1713 г. В дальнейшем были получены более простые её доказательства, основанные на неравенстве Чебышева¹.

Теорема Бернулли (современная формулировка).

При неограниченном числе испытаний в схеме Бернулли относительная частота (частость) появления события стремится по вероятности к вероятности события :

.

Теорема (неравенство Чебышева). Для любого и любой случайной величины , имеющей математическое ожидание и дисперсию , вероятность того, что случайная величина отклонится от не меньше чем на меньше либо равна :

. (1)

Доказательство (для непрерывной случайной величины): ○

. ●

− это верхняя граница вероятности, она может быть достаточно большой, существенно больше 1.

Так как события и противоположные, то другая форма неравенства Чебышева

. (2)

Здесь дается нижняя оценка вероятности рассматриваемого события.

Пример. Для любой случайной величины по неравенству Чебышева получаем

, в то время как для нормально распределённой величины , т. е. оценка по неравенству Чебышева менее точная, но применимая для всех без исключения случайных величин.

Теорема Чебышева. Если − попарно независимые случайные величины с равномерно ограниченными дисперсиями, т.е. , то при неограниченном увеличении их среднее арифметическое стремится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий: ,

т.е. для любого .

Доказательство. ○ По неравенству Чебышева , т.к. . ●

Таким образом, при большом числе случайных величин их среднее арифметическое − случайная величина, сколь угодно мало отличающаяся от постоянной величины , т.е. практически перестает быть случайной. В частности, если величины одинаково распределены , то .

Теорема Чебышева имеет важное практическое значение: при измерении некоторой величины , истинное значение которой неизвестно, проводят независимых измерений . Тогда . Этим обосновывается выбор среднего арифметического в качестве меры истинного значения .

Смысл теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий среднее арифметическое большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значение, близкое к некоторой константе, а именно к . Например, при измерении физической величины проводят несколько независимых измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве истинного размера.

К числу теорем закона больших чисел относится и центральная предельная теорема Ляпунова²

Теорема (центральная предельная теорема Ляпунова). Распределение суммы попарно независимых случайных величин приближается к нормальному, если:

1. все эти величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии

2. ни одна из величин по своим значениям резко не отличается от остальных.

Пример. В университете, куда ежедневно приходят 6400 студентов, имеется 2 входа. Каждый студент с вероятностью 0,5 заходит в любой из них и сдает пальто в соответствующий гардероб. Сколько вешалок должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью, большей 0,997 их хватило?

Решение. С каждым студентом свяжем случайную величину , которая примет значение 1, если студент заходит с первого входа и 0 в противном случае. Тогда количество студентов, зашедших с первого входа и сдающих пальто в соответствующий гардероб, равно . Законы распределения составляющих, очевидно, таковы

	0	1
	0,5	0,5

Так как сумма большого числа одинаково распределенных величин по теореме Ляпунова подчиняется нормальному закону распределения, то , поэтому достаточно вешалок в промежутке , т.е. .

Ответ. 3320 вешалок.

1 Пафнутий Львович Чебышёв (1821 −1894) − русский математик и механик, его работы по теории вероятностей имели огромное значение для развития математики.

2 Александр Михайлович Ляпунов (1857 − 1918) − русский математик и механик, выдающийся представитель петербургской математической школы, созданной П.Л. Чебышевым.