§ 13. Ковариация (корреляционный момент) и коэффициент корреляции

Для двумерной случайной величины характеристики ее составляющих и , , , никак не отражают зависимости между и или ее отсутствия. Поэтому вводится еще одна числовая характеристика − корреляционный момент или ковариация.

Определение. Ковариацией или корреляционным моментом случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:

.

Используя формулы для математических ожиданий, получаем

для дискретных величин ,

для непрерывных величин .

Ковариация характеризует зависимость величин.

Свойства корреляционного момента

1. Для независимых случайных величин и .

2. Если , то случайные величины и зависимы.

3. . (Для доказательства достаточно раскрыть скобки под знаком математического ожидания в определении.) В частности

для дискретных величин ,

для непрерывных величин .

4. . (Свойство сразу вытекает из 3.)

5. . (Выразите дисперсию через математические ожидания.)

6. .

7. . (Доказательство этого свойства можно найти в [1, гл.14, § 17].)

Ковариация имеет размерность произведения размерностей случайных величин и и зависит от того, в каких единицах измерялись величины. Для получения безразмерной характеристики вводится понятие коэффициента корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих случайных величин:

.

Свойства коэффициента корреляции

1. Для независимых случайных величин и .

2. . Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицы.

3. Если , то случайные величины и связаны линейной зависимостью, т.е. .

Определение. Случайные величины и называются некоррелированными, если , и коррелированными, если .

Следует помнить, что понятия некоррелированности и независимости не совпадают, несмотря на внешнее сходство. Независимые величины − некоррелированные, но обратное неверно. Коррелированные величины − зависимые, но обратное неверно. Любые коррелированные величины всегда зависимые, любые независимые величины всегда некоррелированные. Это можно отразить на двудольном графе.

Пример. У случайных величин и , , , , . Найдите и .

Решение. .

.

Ответ. , .

В заключение рассмотрим пример на вычисление всех характеристик системы случайных величин.

Пример. Задан закон распределения системы случайных величин :

Найдите значение параметра . Найдите законы распределения составляющих и . Найдите условные законы распределения составляющих. Найдите , , , , , , .

Решение. а) Согласно свойству совместной плотности вероятности системы случайных величин (свойство 4 из §10) для заданной плотности также

, т.е. . Вычислим интеграл:

. Следовательно, .

Итак, плотность вероятности имеет вид

б) Законы распределения составляющих и найдем по формулам:

− плотность вероятности составляющей и

− плотность вероятности составляющей .

Если , то , а при

, поэтому

Аналогично, если , то , а при

, поэтому

в) Условные законы распределения составляющих и найдем по формулам:

и .

при , т.е.

при , т.е.

г) Математическое ожидание найдем по формуле

, а т.к. отлична от 0 только в области , то

.

Аналогично, .

Для вычисления дисперсии найдем . А т.к. отлична от 0 только в области , то

.

.

Аналогичные вычисления для дают .

Средние квадратические отклонения и .

д) Математическое ожидание найдем по формуле

. А т.к. отлична от 0 только в области , то

.

е) Корреляционный момент найдем по формуле .

.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле .

.

Так как коэффициент корреляции отличен от 0, случайные величины и коррелированные, а значит, зависимые.

Ответ. ,

,

, , , ,

, , .

Замечание. Симметричные значения для составляющих в данном примере получились благодаря симметричности плотности совместного распределения и области . В общем случае таких совпадений не будет.