Решение

Плотность распределения f(x) = F'(x):

f(x) = =

Построим графики F(x) и f(x).

Построим график плотности распределения f(x)

Математическое ожидание:

M(X) = = = =

= = =

= = =

= = =

M(X²) = = = = = =

= = =

= = =

= = = = =

Дисперсия:

D(X) = M(X²) –[M(X)]² = – = = =

Среднеквадратическое отклонение.

σ(X) = = = = = ≈ 0,2357

Вычислим вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания будет не более среднего квадратического отклонения.

||x–M(x)| ≤ σ(X), т.е. ||x–| ≤ , или ≤ x– ≤

≤ x ≤

P(||x–M(x)| ≤ σ(X)) = P( ≤ x ≤ ) = F()–F() =

= F(0,236+1,333) + F(–0,236+1,333) = F(1,569) – F(1,097)

Т.к. аргументы лежат в интервале [1; 2], то имеем:

P(||x–M(x)| = 1–(–2)² – (1–(–2)²) =

= 1–()² – (1–()²) = –()² + ()² =

= –() + () = = ≈ 0,6285

Задача № 9

Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x). Требуется найти параметр «а», функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

9.2. f(x) =

Решение

Параметр «а» найдем из условия = 1

+ + = 1

+ + = 1, = 1

= 1, = 1, = 1

= 1, 2a = 1, откуда a = 0,5

. f(x) =

Функция распределения F(x) =

1) x < 0: F(x) = = = 0

2) 0 ≤ x ≤ π:

F(x) = = F(x) = + =

= 0 + () = –0,5cos x +0,5cos0 = –0,5·cos x +0,5·1 = 0,5(1–cos x)

3) x > π: F(x) = = + + = =

= = –0,5cos π +0,5cos0 = –0,5·(–1) +0,5·1 = 0,5+0,5 = 1

Функция распределения имеет вид:

F(x) =

Математическое ожидание случайной величины х:

M(X) = = =

= =

= = =

= =

= –π·0,5·(–1)+0 + 0,5sinπ –0,5sin0) = 0,5π + 0 +0 = 0,5π

M(X²) = = = =

= = =

= =

= = =

= 0,5π² + π·sin π –0·sin 0 + = 0,5π² +0 –0 + cos π –cos 0 =

= 0,5π² + (–1) –1 = 0,5π² –2

Дисперсия:

D(X) = M(X²) –[M(X)]² = 0,5π² –2 – (0,5π)² = 0,5π² –2 –0,25π² = 0,25π² –2 =

≈ 0,25·3,14² – 2 = 2,465 –2 = 0,465

среднеквадратическое отклонение.

σ(X) = = ≈ = 0,682

10.2. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σ = 560 и математическим ожиданием а = 13000. Найти вероятность того, что число заказов окажется: а) более 12000; б) не менее 12000 и не более 14000.

Решение

Рассмотрим нормальное распределение с параметрами a и σ:

f(x) = =

Для вычисления вероятности используется функция Лапласа:

Тогда

Р(α<x<β) = = =

В частности:

а) P(x > 12000) = P(12000 < x < +∞) = =

= = 0,5 – Ф(–1,7857) = 0,5 + Ф(1,7857) = 0,5+ 0,4621 =

= 0,9621

б) P(12000 ≤ x ≤ 14000) = =

= = Ф(1,7857) – Ф(–1,7857) = Ф(1,7857) + Ф(1,7857) =

= 2Ф(1,7857) = 2·0,4621 = 0,9242

Ответ: P(x > 12000) = 0,9621; P(12000 ≤ x ≤ 14000) = 0,9242

11.2 По 15 строительным организациям имеются следующие данные о числе работающих:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
N	34	36	46	36	45	46	36	45	34	36	45	46	45	46	45

Составить вариационный ряд. Определить, сколько в среднем на одну строительную организацию приходится всего работающих. Найти и построить эмпирическую функцию распределения.