4.4.4. Оценка точности результатов ряда двойных равноточных измерений

Очень часто в практике геодезических и маркшейдерских работ искомую величину определяют по результатам двукратных равноточных измерений этой величины. Например, горизонтальные углы измеряют двумя полуприемами, превышение на станции при геометрическом нивелировании определяется по черным и красным сторонам реек, длины отрезков линий местности находят из результатов измерений этих отрезков в прямом и обратном направлениях.

- 42 -

Возникает задача оценки точности этих результатов. Имеем ряд величин, истинные значения которых равны

. (4 .59)

Пусть каждая из этих величин измерена равно точно дважды и получены результаты:

; (4.60)

, (4.61)

Составим разности между результатами измерений и их истинными значениями:

; (4.62)

, (4.63)

где . Найдем разности уравнений (4.62) и (4.63)

(4.64)

и обозначим . (4.65)

Здесь и- истинные случайные погрешности результатов.

Возведем уравнения (4.65) в квадрат, сложим и разделим на их число

. (4.66)

На основании (4.3) и (4.10) запишем

; ; ,

тогда . (4.67)

Так как измерения равноточные, т.е. , то

- 43 -

, . (4.68)

При двойных равноточных измерениях за окончательное значение принимают среднее арифметическое из результатов отдельных измерений, т.е. ,

тогда или . (4.69)

Формулы (4.68) и (4.69) справедливы лишь в том случае, если разности не содержат систематических погрешностей.

Пусть разности содержат систематическую погрешность , т.е.

. (4.70)

Сложим уравнения (4.70) и разделим на их число

. (4.71)

На основании четвертого свойства случайных погрешностей имеем

, ,

т.е. . (4.72)

Среднее арифметическое из разностей результатов двойных равноточных измерений отлично от нуля и численно равно систематической погрешности этих результатов.

Вычтем из каждой разности величину систематической погрешности, т.е. образуем новые разности

. (4.73)

Сложив равенства (4.73) и поделив их на n, получим

- 44 -

, но , тогда

, (4.74)

т.е. среднее арифметическое из разностей результатов двойных равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей, всегда равно нулю.

Разности , как уклонения от простой арифметической середины и обладающие свойством , можно считать вероятнейшими погрешностями разностей . Применяя к ним формулу Бесселя для средней квадратической погрешности, запишем

, (4.75)

а . (4.76)

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического из результатов ибудет равна

. (4.77)

Вычисление значения числителя подкоренного выражения можно проконтролировать по формуле

. (4.78)

Примечание. Оценку точности по разностям результатов двойных равноточных измерений следует выполнять по формулам (4.68) и (4.69), если разности удовлетворяют условию

, (4.79)

в противном случае, по формулам (4.75) - (4.77).

- 45 -