3. Ряды фурье

§ 1. Вводные замечания

Мы знаем, какую большую пользу приносит представление функции в форме:

(1)

т.е. в форме суммы степенного ряда. Такое представление даёт возможность и находить приближённо численные значе- ния функции, и устанавливать различные свойства функций, вычислять определённые интегралы, решать дифференци- альные уравнения и т.п. Столь плодотворным представление (1) оказывается потому, что отдельные слагаемые правой части являются чрезвычайно простыми функциями. Можно сказать, что формула (1) показывает, как составлена сложная функция из простейших функций

(2)

Таким образом, разложение (1) в некотором роде сходно с разложением многочлена на множители или с разложением рациональной дроби на простые и т.п.

Наряду с системой степеней (2), в элементарной мате- матике хорошо изучена система тригонометрических функций:

(3)

Поэтому, кроме представления функции в форме (1), большое значение имеет её представление в форме суммы ряда по функциям (3), т.е. в форме

(4)

Ряд такого вида называется тригонометрическим рядом.

Напомним важное свойство тригонометрических функций:

Если функция обладает тем свойством, что при неко- торой постояннойи всехоказывается

,

то говорят, что функция имеет периодили, короче- периодична. Таким образом, все функции системы (3) яв- ляются- периодичными. Но тогда и сумма ряда (4) долж- на быть- периодичной: если все члены ряда не меняются от заменына, то и сумма ряда не меняется от такой замены. Поэтому тригонометрические ряды являются аппаратом, особенно удобным для представления- пери -одических функций.

Ортогональность тригонометрической системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две функции иназываютсявзаимно ортогональными на промежутке , если

.

ТЕОРЕМА 1. Любые две функции системы

(3)

взаимно ортогональны на отрезке .

Доказательство теоремы основано на следующей лемме.

Лемма. Если - целое (положительное или отрица- тельное число), то

(5)

В самом деле,

Аналогично доказывается и второе из равенств (5).

Переходя к доказательству теоремы, мы должны выбирать из системы (3) различные пары функций и находить интеграл от их произведения. При этом могут представиться следую- щие случаи.

1. Одна из выбранных функций , а вторая -или. Тогда упомянутый интеграл будет равен нулю, в силу леммы.

2. Выбрана пара функций и. Так как

(6)

тогда

По лемме, оба интеграла, стоящие справа, равны нулю.

3). Выбраны функции иТогда вместо (6) нужно применить формулу:

и рассуждать, как в 2).

4) Выбраны функции и. Так как

то

По лемме, оба интеграла справа равны нулю.

Итак, какие бы различные функции из системы (3) ни взять, интеграл от их произведения по промежутку равен нулю. Это и требовалось доказать.

Нам понадобится ещё

ТЕОРЕМА 2. При любом натуральном будет

. (7)

В самом деле,

.

Отсюда

Аналогично доказывается и второе равенство из (7).