§ 2 Степенные ряды.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функцио – нальный ряд вида:

, (1)

где - действительные числа, которые называютсякоэф – фициентами ряда. Степенным рядом можно назвать также ряд

(2)

Следует заметить, что всякий степенной ряд вида (1) всег- да сходится в точке (а ряд вида (2) - в точке). Поэтому область сходимости степенного ряда всегда является непустым множеством.

Чтобы определить вид области сходимости степенного ря- да, докажем следующую теорему:

ТЕОРЕМА 1 (Абеля о сходимости степенного ряда).

1. Пусть степенной ряд (1) сходится в точке . Тогда он сходится в любой точке, удовлетворяющей нера- венству(причём абсолютно).

2. Если степенной ряд (1) расходится в некоторой точке , то он расходится и для всех, удовлетворяющих нера -венству.

Докажем эту теорему.

1. По условию, ряд сходится, следовательно, по необходимому признаку сходимости,. Но любая сходящаяся последовательность ограничена. Поэтому сущест- вует некоторое число, такое что для всехвыполняется неравенство:

. (3)

Ряд (1) можем записать в виде:

.

Так как, по предположению, , то получаем нера- венство:

.

Сумма ряда - это сумма геометрической прогрессии с. Данный ряд сходится. Поэтому сходится и ряд

, следовательно, ряд (1) сходится абсолютно.

2. Докажем от противного. Пусть ряд (1) сходится при некотором значении . Тогда, как только что было доказано, он должен сходиться и для всех, т.е. и для. Получаем противоречие с предположением тео- ремы. Следовательно, ряд расходится для всех.

Из теоремы Абеля можем сделать заключение о виде об- ласти сходимости степенного ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Радиусом сходимости степенного ряда называется некоторое число такое, что для всех, удов- летворяющих неравенству, ряд сходится, а для всех

ряд расходится.

Значение радиуса сходимости можно определить, используя известные признаки сходимости положительных числовых рядов.

Используя признак Даламбера, радиус сходимости можно найти следующим обраом: пусть . Тогда

.

По признаку Даламбера, ряд сходится, если предел данного отношения меньше 1. Следовательно, сходится при и расходится при. Тогда радиус сходимости определяет- ся формулой

. (4)

Аналогичным образом, используя радикальный признак Ко –ши, получаем ещё одно выражение для радиуса сходимости степенного ряда:

. (5)

Если , то степенной ряд сходится только в одной точкедля ряда (1), или, придля ряда (2).

ПРИМЕРЫ:

1. Найти область сходимости ряда: .

Для этого ряда, Тогда

и ряд сходится только в точке .

2. Найти область сходимости ряда: .

. Тогда

Следовательно, ряд сходится на всей числовой прямой .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В интервале сходимости, т.е. при степенной ряд сходится абсолютно. Еслиилиряд может сходиться или расходиться, поэтому требуется дополнительное исследование ряда на сходимость в этих точках.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть степенной ряд имеет радиус сходи -мости , тогда для любого, удовлетворяющего неравенству, степенной ряд (1) равномерно сходится для всех. (получается как следствие теоремы Вейерштрасса.). Отсюда получаем следующее следствие:

СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда яаляется непрерывной функцией внутри промежутка сходимости.

Учитывая замечание 2 и теоремы предыдущего параграфа, получаем следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Если степенной ряд (1) имеет радиус схо -димости и, то данный ряд можно почленно интегрировать по промежутку, т.е.

При этом полученный ряд имеет тот же радиус сходимости.

ТЕОРЕМА 3. Если степенной ряд (1) имеет радиус схо -димости и, то данный ряд можно почленно дифференцировать внутри промежутка сходимости, т.е.

причём полученный ряд имеет тот же радиус сходимости .

ЗАМЕЧАНИЕ. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно сколько угодно раз, причём ряды, полученные в результате дифференцирова– ния, имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.

Обычно нет смысла специально находить радиус сходимос -ти степенногл ряда. Область сходимости ряда непосредст- венно получается из неравенств:

(а), или . (б) (6)

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти область сходимости ряда: .

Для данного ряда .

Тогда область сходимости:

или . В данном про –межутке ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда на границах этого промежутка.

Пусть . Тогда из исходного ряда получаем числовой ряд~ . В правой части

стоит гармоничесуий ряд, о котором известно, что он расхо – дится. Следовательно, данный ряд расходится при .

Пусть . Тогда ряд имеет вид:

.

Получили знакопеременный ряд, который, как было проверено выше, не имеет абсолютной сходимости. Проверим выполне -ние условий признака Лейбница:

(1) для всех;

(2) .

Таким образом, по признаку Лейбница, в точке ряд сходится условно, и область сходимости данного ряда

2. Найти область сходимости ряда .

.

Тогда область сходимости:

Область сходимости определяется следующим образом:

. Исследуем ряд на сходимость на границе области.

Пусть . Тогда получаем ряд:

~ .

Ряд, стоящий справа, сходится, как обобщённый гармоничес -кий ряд со степенью . Тогда сходится и ряд, стоя -щий слева.

При получаем такой же ряд:

~ и ряд также сходится. Поэтому область сходимости данного ряда:.

3. Найти область сходимости ряда .

По формуле (6) б, область сходимости имеет вид:

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

Пусть . Тогда получаем ряд

.

. Поэтому ряд расходится.

При ряд имеет вид:

.

Данный знакочередующийся ряд расходится, так как не вы -полнено второе условие признака Лейбница: .

Следовательно, область сходимости ряда .