§ 2 Числовые ряды с положительными

ЧЛЕНАМИ. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ

В данном параграфе рассматриваем ряды , для которыхдля всех. Для таких рядов последова- тельность частичных сумм является монотонно возрастающей (неубывающей). Поэтомунеобходимый и достаточный при -знак сходимости таких рядов даёт теорема:

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы ряд с положительными членами сходиля необходимо и достаточно, чтобы последова- тельность его частичных сумм была ограничена.

В самом деле, если ряд сходится, то сходится после -довательность частичных сумм этого ряда, а любая сходя -щаяся последовательность является ограниченной.

С другой стороны, любая монотонная ограниченная после- довательность всегда имеет предел, а если последова- тельность частичных сумм имеет предел, то ряд сходится.

Признаки сравнения рядов. Пусть даны два числовых ряда с положительными членами: (1) и(2).

Чтобы применять признаки сравнения, корорые будут приведе- ны ниже, нам необходимы знать некоторые сведения о рядах, которые будем выбирать для сравнения.

Во – первых, это известная из школьного курса математики сумма элементов геометрической прогрессии с первым эле -ментом и знаменателем:

. (3)

Частичная сумма этого ряда:

.

Очевидно, что конечный предел этих частичных сумм су- ществует только в случае, если и только при этом условии ряд (3) сходится. Если, то данный ряд расхо- дится.

Во – вторых, это так называемый обобщённый гармони -ческий ряд:

(4)

Данный ряд сходится при и расходится при.

1. Первый признак сравнения (мажорантный).

ТЕОРЕМА 2. Пусть даны два числовых ряда с положитель- ными членами (1) и(2). Пусть для всех нату- ральныхдля членов этих рядов выполняются нера -венства:

. (5)

Тогда, если сходится ряд (2) (с большими членами), то сходится и ряд (1), и наоборот, если расходится ряд (1) (с меньшими членами), то расходится и ряд (2).

В самом деле, для частичных сумм этих рядов выполняют- ся неравенства, аналогичные неравенству (5):

.

Известно, что при переходе к пределу знак неравенства сохраняется, т.е. . Если ряд (2) сходится, то получаем неравенствои ряд (1) также сходится, и наоборот, если ряд (1) расходится, то по – лучаем неравенствои ряд (2) также расходит- ся.

Рассмотрим примеры. Исследовать на сходимость следую- шие ряды:

1. .

Судя по виду ряда, можно предположить, что сравнивать его

будем со сходящимся рядом (сумма сходящейся гео- метрической прогрессии). Числитель дроби принимает значе- ние 4 при чётныхи 2 при нечётных значениях.

(Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна ). Следовательно, исходный ряд сходится.

2. . Учитывая ограниченность функции, можем предположить, что ряд расходится, при данном отношении старших степенейв числителе и зна- менателе дроби. Если вспомнить, что дробь уменьшается, если уменьшить её числитель и увеличить знаменатель, то по- лучим следующее неравенство:

Ряд, стоящий справа - это обобщённый гприонический ряд с , поэтому он расходится. Поэтому расходится и ис – ходный ряд, элементы которого больше элементов этого ряда.

Замечание 1. Теорема 2 останется верной, если неравенство (5) выполняется не для всех натуральных значений , а толь- ко начиная с некоторого номера(на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа слагаемых).

Замечание 2. Выводы теоремы 2 остаются верными, если для элементов рядов выполняется неравенство:

, (6) где - произвольная постоянная.