§ 3. Ряд фурье для чётных и нечётных функций.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ЧАСТИ

ПРОМЕЖУТКА. СДВИГ ОСНОВНОГО ПРОМЕЖУТКА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется чётной, если она не меняется при изменении знака её аргумента, т.е. если

. (1)

Примерами чётных функций служат функции и вообще,, а такжеи вообщеФункциятакже является чётной.

Ясно, что график чётной функции симметричен относи-тельно оси ординат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называетсянечётной, если при изменении знака аргумента она меняет знак, но сохраняет абсолютную величину, т.е., если

. (2)

Например, таковы функции и вообще, а также, и вообще,.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция может быть ни чётной, ни нечётной . Например та- коваЗдесь, например,а

Функция является одновременно и чётной и нечётной.

Рассмотрим произведение: Еслииобе чётные или обе нечётные, то, очевидно, будет чётной. Если же из функцийиодна чётная, а вторая нечётная, тобудет нечётной функцией. Иначе говоря, верна следующая

Пусть функция, заданная на отрезке , является чётной, т.е.. Тогда её коэффициенты Фурье. В самом деле,

В первом интеграле сделаем замену переменной:

если , если

(Если поменять пределы интегрирования в определённом ин -теграле, знак его меняется на противоположный.)

Аналогично, учитывая, что функции ичётные, можно получить следующие формулы:

Используя тот же метод, можно доказать, что если функция нечётная, т.е., то её коэффициенты Фурье, а коэффициенты ФурьеТаким образом, если функциячётная, то её ряд Фурье имеет вид:а если нечётная - тоПоэтому с учётом свойства чётности или нечётности функции облегчается разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции, заданной на части промежутка

.

До сих пор мы говорили о разложении в тригонометрический ряд функции, заданной на отрезке .Рассмотрим теперь случай, когда задана лишь на части этого отрезка, где (рис. 4) Будем предполагатьдифференцируемой на этом отрезке, и поставим вопрос о построении такого тригонометрического ряда

, (3)

в который разлагалась бы функция .

а

Рис. 4

Эту задачу можно решить так: выберем совсем произвольную функцию , заданную и дифференцируемую на отрезкеи определим на всём отрезке«составную» функцию, положив

График изображён на рис. 5.

- а

Рис. 5

Функция разлагается в свой ряд Фурье на всём отрезке, за исключением может быть трёх точеки. В этих точках сумма ряда будет соответственно равна

Поскольку, при «составная функциясовпадает с, то для этих х будет

.

Если подбирать с условием, то окажетсяи равенство будет верно и при. Нако- нец, условиеобеспечит справедливость равенства и при

Таким образом, поставленная задача имеет решение. Однако это решение не единственно : ведь функцию мы могли выбирать бесконечным множеством способов, а выбор этой функции определяет коэффициенты ряда.

Например,

Поэтому (в отличие от функции, заданной на всём отрезке ) функция, заданная на более коротком отрезке, допускает бесконечное множество представлений вида (3). Здесь не имеет место теорема о единственности.

Всё сказанное относится, в частности, и к отрезку. Но тут появляется некое новое обстоятельство. Именно, если мы захотим, взятьтакой, чтобы «составная функция»оказаласьчётной (рис. 9).

О

Рис. 6

Это приводит к разложению

, (4)

в котором

. (5)

Нетрудно видеть, что формула (4) верна на всём отрезке .

С другой стороны, мы можем выбрать и так, чтобы функцияоказаласьнечётной (рис. 7). Это приведёт нас к разложению

, (6)

в котором

. (7)

О

Рис. 7

Формула (6) верна при . Чтобы она была верна при, необходимо, чтобы было, так как правая часть равенства (6) обращается в ноль при. Точно также для справедливости формулы (6) в точкенеобходимо, чтобы было.

Таким образом, имеет место.

ТЕОРЕМА 1. Функцию , заданную и дифференцируе - мую на отрезкеможно бесконечным множеством спо- собов разложить в тригонометрический ряд. В частности, её можно разложить по косинусам в ряд (4), коэффициенты которого определяются формулами (5), или в ряд по синусам (6) с коэффициентами (7).

ПРИМЕРЫ. 1). Пусть . Разложить эту функцию в ряд по косинусам

О

Рис. 8

Здесь

Отсюда, при будет

(8)

В частности, при мы снова находим

Сумма ряда (8) является - периодической и чётной функцией. Её график изображён на рис. 8.

2). Пусть функция , заданная на, разложена в тригонометрический ряд по синусам. Найти сумму рядав точках

Решение. а) Так как то

Так как нечётная, то

с) ,

так как при все члены ряда обращаются в ноль

Сдвиг основного промежутка.

Всю теорию рядов Фурье мы излагали для функций, заданных на отрезке Однако вместо этого отрезка можно было бы положить в основу любой другой отрезок длины. Дело в том, что это период всех функций сис- темы :

(9) и справедлива

ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет период равныйто интегралне зависит от числа а.

В самом деле,

(10)

В последнем интеграле справа можно сделать замену , дающую

Таким образом, первый и третий интегралы правой части (10) взаимно уничтожаются и

,

чем и доказана теорема.

В частности, из неё следует, что 1) любые две функции системы (9) взаимно ортогональны на всяком отрезке длины и 2) при всякомбудет

Следовательно, всю теорию можно перенести с отрезка на любой отрезокНапример, верна:

ТЕОРЕМА 3. Если функция дифференцируема на от- резкето всюду на открытом промежуткебудет

(11)

где

Ряд (11) сходится и в точках , где его сум -ма равна

.

ПРИМЕР. Разложить в ряд Фурье функцию , рассматриваемую на отрезке

Здесь

Следовательно, при будет

. (12)

В частности, при получаем уже знакомое равенство

В точках суммаряда (12) равна.

Нетрудно понять, что