§ 2. Теорема единственности. Ряд фурье.

ТЕОРЕМА 1. Если функция , заданная и непрерывная на отрезке, разлагается в тригонометрический ряд,

то коэффициенты его определяются единственным образом.

Доказательство. Пусть

(4)

Проинтегрируем это равенство по промежутку , причём в правой части (4) применим формулу: «интеграл суммы равен сумме интегралов». Так как справа стоитбесконечное множество слагаемых, то следовало бы обосновать воз - можность применения указанной теоремы, но мы оставим это в стороне.

Благодаря равенству (5), интегралы от всех слагаемых, кроме первого, равны нулю, что приводит к соотношению

.

Отсюда

. (8)

Итак, свободный член разложения (4) действительно определяется единственным образом.

Займёмся теперь коэффициентами . Запишем формулу (4) в виде:

. (4.1)

Умножим равенство (4.1) на и проинтегрируем полу- ченное равенство по промежутку. Получим

Первый интеграл, стоящий справа, равен нулю, по формуле (5). Третий интеграл, стоящий справа, равен нулю. Из вторых интегралов в правой части, равны нулю все интегралы, в ко-

торых . При, в силу теоремы 1 и формулы (7), получим

Следовательно,

(9)

Аналогично, если мы умножим ряд (4.1) на и проин- тегрируем полученное равенство по отрезку, учитывая аналогичные формулы, получим

Тогда

(10)

Формулы (9) и (10) дают единственные представления для ко- эффициентов итригонометрического ряда. Теорема до- казана.

Эта теорема даёт повод ввести следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть - функция, заданная на про -межутке. Числанайденные для этой фун-кции по формулам (8), (9), (10) называются еёкоэффици- ентами Фурье, а ряд

с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции .

Из доказательства теоремы 2 видно, что эту теорему можно сформулировать и так:

ТЕОРЕМА 2 (единственности). Если непрерывная на отрез- ке функцияразлагается в тригонометрический ряд, то это обязательно её ряд Фурье.

Разумеется, эта теорема вовсе не значит, что всякая непрерывная на отрезке функция действительно раз- лагается в ряд Фурье. Например, функция, рассматриваемая на отрезкезаведомо не раскла- дывается на всём этом отрезке в тригонометрический ряд, так как у неёа сумма тригонометрического ряда, ввиду своей- периодичности в точкахдолжна иметь одинаковые значения

ТЕОРЕМА 3 (разложения). Пусть задана на отрезке и в каждой точке этого промежутка имеет конечную производную. Тогда ряд Фурье этой функции сходится на всей числовой оси, причём сумма егоравнав точках, для которыхи

(11)

Эту замечательную теорему мы примем без доказательства.

Замечание 1. В теореме говорится о том, какова сумма ряда в точках, принадлежащих отрезку.

Однако, поскольку эта сумма - периодична, то её значения на отрезкеполностью определяют все значения на числовой прямой.

Замечание 2. Теорема гарантирует разложимость всякой дифференцируемой на функции в ряд Фурье не на всём отрезке, а лишь в открытом промежутке. Одна- ко, если разлагаемая функция удовлетворяет ещё дополни- тельному условию

, (12)

то, как видно из (11), она будет представлена своим рядом Фурье на всём отрезке .

Введём понятие периодического продолжения функции , заданной на отрезке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определённая на всей чи- словой оси и периодическая с периодомназываетсяпериодическим продолжением функции , если на отрезкевыполняется равенство.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функциональный ряд сходится «в среднем» к функции на некотором отрезке, если последовательность частичных суммэтого ряда сходится «в среднем» к функции, т.е.

Замечание 3. Очевидно, что, если на отрезке ряд Фурье сходится к функции, то на всей числовой прямой он сходится к её периодическому продолжению

ТЕОРЕМА 4. Пусть функция и её производнаянепрерывны на отрезке, или же имеют на этом отрезке конечное число точек разрыва 1 – го рода. Тогда ряд Фурье данной функции сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке, в которой функция

непрерывна, В каждой точке разрыва функциисумма ряда равна:

где ,. На концах отрезкасумма равна

.

В любой точке непрерывности функциисумма рядаВ точках разрыва данной функции сумма ряда равна

(Здесь, - периодическое продолжение функции).

ТЕОРЕМА 5. Ряд Фурье кусочно - непрерывной функции сходится «в среднем» к данной функции на отрезкеи к её периодическому продолжениюна всей числовой прямой.

ТЕОРЕМА 6. Для любой кусочно - непрерывной функции , заданной на отрезке, для кэффициентов Фурье имеет место равенство Парсеваля:

Доказывать эти теоремы не будем.

ПРИМЕРЫ.

При вычислении коэффициентов Фурье необходимо помнить следующие значения:

1. Пусть . Найдём коэффициенты Фурье этой функции. По (8),

.

Далее, интегрируя по частям и применяя (5), находим

Тогда, по формуле (4.1), получаем

Следует заметить, что последнее равенство верно лишь при . В случае, если, оно заведомо неверно. Так как. В силу- периодичности суммыряда (14), график этой суммы имеет вид, изображённый на рис. 1.

-2- 0 2

-.

Рис.1

Интересно, что оказывается разрывной функцией (хотя все члены ряда непрерывны). Мы видим, что появление в математике разрывных функций совершенно неизбежно: их вводит сам математический аппарат даже при рассмотрении столь «хороших» функций, как . Систематическим исследованием разрывных функций занимается «Теория функ- ций вещественной переменной».

2. Пусть Найдём коэффициенты Фурье этой функции.

Для второго интеграла

Для второго интеграла

Получаем ряд:

График суммы имеет вид:

0

-1

Рис. 2

3. Рассмотрим функцию . Её коэффициенты Фурье таковы:

Далее, интегрируя по частям, находим

Первое слагаемое равно нулю, так как ,,

Следовательно,

.

Аналогичный подсчёт даёт: Значит,

Так как функция удовлетворяет условию (12), то данное равенство выполнено на всём отрезке.

В частности, полагая , получим

,

откуда вытекает изящное равенство

. (13)

Замечание. Если (13) умножить на , то получится

.

Вычитая это равенство из (13), получим

(14)

0

Рис.3

Вследствие - периодичности суммыряда (13) её график имеет вид, изображённый на рис. 3. Функцияоказывается непрерывной, но не гладкой.

4. Очень поучительно следующее упражнение: пусть функ- ция разложена в ряд Фурье и пусть- сумма этого ряда. Найти

Решение. Точка лежит внутри промежутка, где. Значит. Далееи поэтому. В силу- периодичностиимеем

Аналогично,

Наконец,

.