Егоров, Казаков Мет. по лин. програм

11

1.1.4. Задача о сменно-суточном планировании работы

Словесная формулировка задачи

Анализ практики работы авторемонтной службы показал распределение интенсивности требу мого количества рабочих.

Поэтому решено организовать шестисменное дежурство продолжительностью 8 часов с начало работы смен в 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00 и 20.00.

Требуется определить, какое минимальное количество рабочих в течение суток будет необх димо.

Математическая формулировка задачи

Определить количество рабочих в каждой из смен (переменные), которое должно быть не мен ше минимальной потребности в них (ограничения), при условии, что общее количество привлека мых в течение суток рабочих будет минимальным (целевая функция).

Идентификация переменных:

12

x1 - число рабочих, выходящих в 1-ую смену с 0.00 до 8.00; x2 - число рабочих во 2-ой смене с 4.00 до 12.00;

x3 - число рабочих в 3-ей смене с 8.00 до 16.00; x4 - число рабочих в 4-ой смене с 12.00 до 20.00; x5 - число рабочих в 5-ой смене с 16.00 до 0.00; x6 -число рабочих в 6-ой смене с 20.00 до 4.00.

Определение целевой функции:

z x1 x2 x3 x4 x5 x6 min

- количество привлекаемых в течение суток рабочих.

при

x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 x6 4, x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 x6 8, 0 x1 x2 x3 0 x4 0 x5 0 x6 1 0, 0 x1 0 x2 x3 x4 0 x5 0 x6 7 , 0 x1 0 x2 0 x3 x4 x5 0 x6 12, 0 x1 0 x2 0 x3 0 x4 x5 x6 4,

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0.

13

1.2. Области решений задачи линейного программирования

Рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что ограничения в задаче линейного программирования задаются системой линейных неравенств.

Системой линейных неравенств называется система вида:

Решением системы линейных неравенств называется совокупность значений пере-

менных x n ( x1 , x2 ,...,xn ) ( x1 k1 , x2 k2 ,...,xn kn ) (k1 , k2 ,...,kn ), кото-

рые удовлетворяют всем неравенствам этой системы:

Областью решений задачи линейного программирования называются все возможные решения соответствующей системы линейных неравенств.

Рассмотрим систему линейных неравенств в двумерном пространстве и изучим область ее решений:

a11 x1 a12 x2 b1 ,a21 x1 a22 x2 b2 ,

........................

am 1 x1 am 2 x2 bm .

Область решений каждого неравенства этой системы состоит из двух множеств:

1)множества точек, удовлетворяющих уравнению;

2)множества точек, удовлетворяющих строгому неравенству.

Множество точек, удовлетворяющих уравнению

ai 1 x1 ai 2 x2 bi , где i 1,m,

составляют прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости.

Множества точек, удовлетворяющих строгому неравенству

ai 1 x1 ai 2 x2 bi , где i 1,m,

14

будут лежать по одну сторону от прямой и задавать одну из полуплоскостей.

Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей удовлетворяет неравенству, достаточ-

но подставить в него координаты точки, не лежащей на прямой

ai 1 x1 ai 2 x2 bi .

Если для этой точки выполняется неравенство

ai 1 x1 ai 2 x2 bi ,

то она лежит на искомой полуплостости. Если нет, то - на другой полуплостости.

▼

Пример

Определим область решений неравенства:

а) 3x1 4 x2 12 0, б) 3x1 2 x2 0.

Решение

В соответствии с приведенным выше утверждением область решений каждого неравен-

ства состоит из прямой - множества точек, удовлетворяющих уравнению, и из полуплоско-

сти - множества точек, удовлетворяющих строгому неравенству.

а) Построим прямую 3x1 4 x2 12 0, найдя точки ее пересечения с осями коорди-

нат A 4;0 и B 0;3 .

В качестве контрольной точки для определения искомой полуплоскости (верхней или нижней) удобно взять начало координат O 0;0 , не лежащее на построенной прямой. Коор-

динаты точки O 0;0 не удовлетворяют неравенству: 3 0 4 0 12 0, следовательно,

решением данного неравенства является верхняя полуплоскость, не содержащая контроль-

ную точку O 0;0 . Искомая полуплоскость выделена затемнением.

15

б) Построим прямую 3x1 4 x2 0 по двум точкам. Одной из этих точек является начало координат (в уравнении прямой отсутствует свободный член), а другую точку берем на прямой произвольно, например,

В качестве контрольной возьмем, например, точку B 1;0 . Самую "простую" точку

O 0;0 здесь в качестве контрольной брать не следует, ибо она лежит на построенной пря-

мой. Так как координаты контрольной точки B 1;0 удовлетворяют неравенству, т.е.

3 1 2 0 0, то решением данного неравенства является нижняя (правая) полуплос-

кость, содержащая эту точку.

▲

Алгоритм построения области решений задачи линейного программирования с ограни-

чениями в виде системы линейных неравенств:

1.Вместо каждого из неравенств рассматривается уравнение.

2.Определяются точки пересечения прямой, соответствующей уравнению, с осями ко-

ординат.

3.Определяется полуплоскость, соответствующая неравенству.

4.Определяется область решений системы линейных неравенств как пересечение полу-

плоскостей.

1.2.2. Возможные случаи областей решений задачи линейного программирования

1)Область решений задачи линейного программирования – пустое множество

16

Рис. 1.1.

Пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1.1) пусто, т.е. точек, которые удовлетворяют одновременно трем неравенствам заданной системы линейных неравенств, не существует. система линейных неравенств – несовместна.

2)Область решений задачи линейного программирования – единственное решение

17

Рис. 1.2.

Пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1.2) состоит из одной точки, удовлетворяющей одновременно всем неравенствам заданной системы линейных неравенств. Система линейных неравенств имеет единственное решение.

3)Область решений задачи линейного программирования – неограниченное множе-

ство

Рис. 1.3.

Пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1.3) образует неограниченную в некото-

ром направлении область, любая точка которой удовлетворяет одновременно всем неравен-

18

ствам заданной системы линейных неравенств. Поэтому областью решений системы линейных неравенств является неограниченное множество.

4)Область решений задачи линейного программирования – многоугольник

Рис. 1.4.

Пересечение полученных полуплоскостей (рис. 1.4) образует многоугольник, любая точка которого удовлетворяет одновременно всем неравенствам заданной системы линейных неравенств. Поэтому областью решений системы линейных неравенств является многоугольник.

Вопросы для самопроверки

Что задается в задаче линейного программирования системой линейных неравенств?

Что является решением системы линейных неравенств?

Что представляет собой область решений задачи линейного программирования?

Из чего состоит область решений неравенства?

Как определить, какая из двух полуплоскостей удовлетворяет неравенству?

Из каких последовательных шагов состоит построение области решений задачи линейного программирования с ограничениями в виде системы линейных неравенств?

19

Какие возможны случаи областей решений задачи линейного программирования?

Может ли область решений задачи линейного программирования состоять из одного ре-

шения, двух решений и т.д., из множества решений?

1.3. Графическое решение задачи линейного программирования

▼

Пример

Словесная формулировка задачи

Фирма изготовляет два вида изделий.

Для производства изделий используются два исходных продукта и Б . Возможные запасы этих продуктов и нормы их расхода на производство каждого изделия приведены в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделие 1-ого вида никогда не превышает спроса на изделие 2-ого вида более чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что суточный спрос на изделие 1-ого вида никогда не превышает 2 тонн.

Оптовая цена одной тонны изделия 1-ого вида равна 2 тыс. у.е., 2-ого вида равна 3

тыс. у.е.

Какой объем изделий каждого вида должна производить фирма в сутки, чтобы суточный доход от реализации продукции был максимальным?

Математическая формулировка задачи

Для решения этой задачи нужна математическая модель, построение которой сводится к получению не противоречащих друг другу ответов на последовательность следующих во-

просов:

1)С помощью каких искомых величин можно выразить числом заданную цель на основе заданных исходных данных?

2)Каким алгебраическим выражением можно представить заданную цель с помощью исходных данных и соответствующих искомым величинам переменных?

3)Какие алгебраические ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы

20

выполнялись все заданные исходные условия?

Ответы на эти вопросы для рассматриваемой задачи:

Пронумеруем ограничения рассматриваемой задачи линейного программирования: z 2 x1 3x2 max

при ограничениях

2x1 2 x2 8,

3x1 x2 1,

Областью допустимых решений задачи, или заданной областью определения целевой функции называются все значения вектора x 2 ( x1 , x2 ), удовлетворяющие заданным

ограничениям задачи.

Каждому одному ограничению геометрически соответствует полуплоскость, состоящая из двух множеств:

1) множества точек, удовлетворяющих уравнению (обозначено прямой с соответствую-

щим номером); 2) множества точек, удовлетворяющих строгому неравенству (обозначено стрелкой).

Область допустимых решений геометрически представляется (рис. 1.5) пересечением всех полуплоскостей, соответствующих каждому ограничению (обозначена заштрихованным многоугольником).