Математика / Математика 2 / Пособие по стерометрии

Федеральное агентство по образованию РФ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

ПОСОБИЕ

ПО ГЕОМЕТРИИ

Часть II. Стереометрия

Впомощь учащимся 10–11-х классов

Москва 2009

I. МНОГОГРАННИКИ: ПРИЗМА, ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, ПИРАМИДЫ

Многогранником , плоскими многоугольниками, много-

угольников ребрами, многоугольники граня-

ми .

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое количество ребер.

Общий вид правильных многогранников:

4

Для всех выпуклых многогранников выполняется формула (теорема) Эйлера:

Р + 2 = В + Г,

где Р – число ребер, В – вершин, Г – граней.

Правильные многоугольники, имеющие более пяти сторон, не могут быть гранями правильного многогранника, так как сумма всех плоских углов при вершине должна быть меньше 360°.

, изучаемых.

Призма. много-

угольники, параллельных плоскостях, параллелограммы; боковые параллельны и равны.

перпендикулярны, называется прямой.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоуголь-

ники. (У правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники.)

Объем призмы:

V = Sоснh, где Sосн – площадь основания; h – высота;

V = S l, где S – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Перпендикулярное сечение – сечение призмы плоскостью,

перпендикулярной боковому ребру. Площадь полной поверхности призмы:

Sполн = Sб.п + 2Sосн,

где Sб.п – площадь боковой поверхности, Sосн – площадь основания; Sб.п = Р l, где Р – периметр перпендикулярного сечения, l –

боковое ребро;

Sб.п прямой призмы = Росн h, где Росн – периметр основания, h – высота призмы.

Параллелепипед это призма, все грани которой параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

5

прямоугольного параллелепипеда -

.

Диагональ отрезок,, .

Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и находятся по формуле: d2 = а2 + b2 + с2.

О V = abc. П S = 2(ab + ac + bc).

Куб (гексаэдр) параллелепипед, у которого все 6 граней –

квадраты. Объем куба со стороной а равен V = а3, площадь поверхности S = 6а2.

Пирамида. , боковые , общую .

; h .

Площадь полной поверхности S = Sосн + Sб.п,

Sосн основания; Sб.пповерхности.

Правильная пирамида пирамида, ос-

новании лежит правильный многоугольник вершина проектируетсяоснования.

У правильной пирамиды: - боковые ребра равны;

6

-боковые грани – равные равнобедренные треугольники;

-двугранные углы при ребрах основания равны;

-двугранные углы при боковых ребрах равны;

-плоские углы при вершине равны;

-все апофемы (высоты боковых граней, опущенные на ребра основания) равны.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sб.п.прав.пир = lр , где l – апофема; р – полупериметр основания.

Sб.п.прав.пир = Sосн , где – двугранный угол при ребре основаcos

ния.

, SA, SB SC ,AB!

-( ) ( ).

боковыми ( )( )!

Тетраэдр – это треугольная пирамида, все четыре грани которой – треугольники, любая из граней может быть принята за основание тетраэдра. (Можно провести четыре высоты.)

Площади боковых граней тетраэдра обратно пропорциональны опущенным на них высотам.

.

Теорема I. боковыми пирамидыоснования ( ), проек-

h – высота пирамиды.

Теорема II. Если боковые ребра пирамиды равны между собой, то: а) около основания можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности; б) все углы между боковыми ребрами и основанием равны.

7

Усеченная пирамида. S1 S2

. П поверхности S = S1 + S2 + Sб.п, где Sб.п –. Объем

h

V 3(S1 S1S2 S2).

Углы в пространстве

Угол между наклонной и плоскостью

равен углу между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.

АВ – наклонная, АС – проекция,

АВ ( ) = А.

Двугранный угол – фигура, образованная двумя непараллельными полуплоскостями, имеющими общую границу (ребро двугранного угла).

Теорема III. Угол между двумя непараллельными плоскостями равен углу между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими в этих плоскостях:

( ) ( ) = .

Теорема IV. Угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярными прямыми к этим плоскостям.

( ) ( ) = < 90°,

а , b ,

( ) ( ) = а b = .

Очень часто при решении задач используется теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости перпендикулярно к проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

8

Справедлива и обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости перпендикулярно наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и ее проекции.

Примеры решения задач

Задача 1.1. , которого 1, , 4. боко-

вой 2 . сторонами .

Решение. ,, умноженному :

Ответ: 45 .

Задача 1.2. параллеле-

пипеде ABCDA1B1C1D1 АС1 – АВ = 9, АС1 – AD

= 5 АС1 – АА1 = 2. : ) АС1;) параллелепипеда; ) параллелепипеда; ) .

Решение. ) AC12=AB2+AD2+AA12 ,

то, п АС1 = х,

9

х2 = (х – 2)2 + (х – 5)2 + (х – 9)2х2 – 16х + 55 = 0,

, х1 = 5, х2 = 11. х1 удовлетворяет : х = 5 АС1 – АВ = 5 – 9 < 0.удовлетворяет , следовательно,

АС1 = 11.

) П параллелепипеда:

Sб.п 2SAA1D1D 2SAA1B1B 2AA1(AB AD).

АВ = АС1 – 9 = 11 – 9 = 2, AD = AC1 – 5 = 11 – 5 = 6, AA1 = 11 – 2 = 9, Sб.п = 2 9 (2+6) = 144.

) Д параллелепипеда ABCD:

SABCD = AB AD = 2 6 = 12.

, Sполн = Sб.п + 2SABCD = 144 + 2 12 = 168.

) О произведению , . . V = AB AD AA1 = 2 6 9 = 108.

82 , основания45 . параллелепипеда.

Решение. BD<AC AD>AB, ADB = 45 .B1D (B1D < AC1) определитьребра ВВ1,

В1D2= BD2+BB12 вычисляется В1D.

: АВ = х,

AD = y, BE = h (ВЕ AD) ВВ1 = Н.

2hy + 2(x + y)H = 896 , (x + y)H = 672.

й hy = 112, а прямоугольногоBED h:

h = BE = DB sin ADB = 82sin45 .

10