Добавил:

idame76 свои люди в ТПУ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Единый государственный экзамен

Файл:

250 ФОРМУЛ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.08.2023

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

Справочный материал для подготовки к ЕГЭ

Таблица квадратов

		а2										0							1			2		3			4				5							6		7				8		9
		10								100								121				144		169			196				225							256		289			324			361
		20								400								441				484		529			576				625							676		729			784			841
		30								900								961				1024		1089		1156					1225							1296		1369			1444			1521
		40								1600								1681				1764		1849		1936					2025							2116		2209			2304			2401
		50								2500								2601				2704		2809		2916					3025							3136		3249			3364			3481
		60								3600								3721				3844		3969		4096					4225							4356		4489			4624			4761
		70								4900								5041				5184		5329		5476					5625							5776		5929			6084			6241
		80								6400								6561				6724		6889		7056					7225							7396		7569			7744			7921
		90								8100								8281				8464		8649		8836					9025							9216		9409			9604			9801
	100								10000									10201				10404		10609		10816					11025						11236			11449			11664			11881
	110								12100									12321				12544		12769		12996					13225						13456			13689			13924			14161
	120								14400									14641				14884		15129		15376					15625						15876			16129			16384			16641
	130								16900									17161				17424		17689		17956					18225						18496			18769			19044			19321
	140								19600									19881				20164		20449		20736					21025						21316			21609			21904			22201
	150								22500									22801				23104		23409		23716					24025						24336			24649			24964			25281
	160								25600									25921				26244		26569		26896					27225						27556			27889			28224			28561
	170								28900									29241				29584		29929		30276					30625						30976			31329			31684			32041
	180								32400									32761				33124		33489		33856					34225						34596			34969			35344			35721
	190								36100									36481				36864		37249		37636					38025						38416			38809			39204			39601
	200								40000									40401				40804		41209		41616					42025						42436			42849			43264			43681
																									Таблица степеней

	an							1		2						3					4		5		6		7										8		9						10
	2					2				4						8					16		32	64			128									256			512						1024
	3					3				9						27					81		243	729			2187									6561			19683						59049
	4					4				16						64				256			1024	4096			16384									65536			262144					1048576
	5					5				25						125				625			3125	15625			78125								390625				1953125					9765625
	6					6				36						216			1296				7776	46656			279936								1679616				10077696					60466176
	7					7				49						343			2401				16807	117649			823543								5764801				40353607					282475249
	8					8				64						512			4096				32768	262144			2097152								16777216				134217728					1073741824
	9					9				81						729			6561				59049	531441			4782969								43046721				387420489					3486784401
	10					10				100						1000			10000				100000	1000000			10000000								100000000				1000000000					10000000000
	11					11				121						1331			14641				161051	1771561			19487171								214358881				2357947691					25937424601
	12					12				144						1728			20736				248832	2985984			35831808								429981696				5159780352					61917364224
																							Формулы сокращенного умножения
a b a b a 2 b2 – разность квадратов;																													a 3 b3						a b a 2 ab b2 – сумма кубов;
				b		2				a		2				2ab			b	2	– квадрат разности;								a b 3						a 3		3a 2b 3ab 2				b3		– куб разности;
	a			b						a						2ab			b		– квадрат разности;
a b 2								a 2							2ab b2 – квадрат суммы;														a b 3						a 3		3a 2b 3ab 2				b3		– куб суммы;
a 3 b3								a b a 2 ab b2 – разность кубов; a b 2																											b a 2 – квадрат разности.
																							Модуль числа					a		a, если а 0,
																							Модуль числа					a
																														а, если а 0.
																														а, если а 0.
																									Свойства модуля
1.			a b										b a				;												4.				a	2 a 2 ;
1.			a b										b a				;												4.				a	2 a 2 ;
																													5.			x		a		a x a,						a 0 ;
2. a 2											a			;


							2			a,						a 0 ;											6.						x	a				x a или				x a

3.					a
3.					a

1.f x g x

2.f x g x

3.f x g x

4.f x g x

5.f x g x

	Уравнения и неравенства с модулем
	g x 0,

	f x g x ,
		.
	f x g x	.	f x g x ,	f x g x 0,
f x 2 g x 2			f x g x ,	f x g x 0,
f x 2 g x 2
			f x g x	f x g x 0.

g x f x g x f x g x .f x g x ,

f x g x .

f x 2 g x 2 f x g x f x g x 0.f x g x ,

Последовательности и прогрессии

Прогрессия

Арифметическая

Геометрическая

Формула n-го члена, n N

n 1 d

q n 1

Рекуррентная формула

an 1

bn 1

Характеристическое

an 1 an 1

b2 ,

b 0

свойство

n 1

a1 an

b1 bn q

Формула суммы n первых

1 q

членов

2a1

1 d

b1 1

1 q

Дополнительные формулы

an am

n m

bn : bm q n m

n m

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 0

– формула суммы

1 q

Метод координат на плоскости

xa , ya

xb , yb имеют место действия:

Для векторов a

и b

; y

;

сложение a

вычитание a

xa xb ; ya

yb ;

kxa ;kya .

умножение на число k a

Скалярное произведение векторов:

a b xa xb ya yb

cos a;b

xa xb ya yb

a b

cos a;b

В xВ , yВ

xa2 ya2

xb2 yb2

x 2

y2 .

Длина вектора a :

Пусть заданы точки

А xА , yА и В xВ , yВ , тогда

Координаты вектора: АВ xВ xА ; yВ

yА .

Координаты середины отрезка АВ: x

x A xB

; y

yA yB

Расстояние между точками А и В (длина вектора АВ ): АВ АВ

	АВ
	А xА , yА
0	x

xВ xА 2 yВ yА 2

Тригонометрия

cos 2 α sin2 α 1;

tg α ctg α 1;

tg α

sin α

;

ctg α

cos α

;

sin α

cos α

tg α

;

ctgα

;

ctg α

tg α

1 tg 2α

;

1 ctg

2α

;

cos2

sin2

sin α β

sin α cos β cos α sin β ;

cos α β

cos α cos β sin α sin β ;

tg α β

tg α tg β

;

1 tg α tg β

8.sin 2α 2sin α cos α ;

9.cos 2α cos 2 α sin2 α ;

10.cos 2α 2cos 2 α 1 1 2sin2 α ;

11.

tg 2α

2tg α

;

сtg 2α

сtg2α

;

tg 2α

2сtg

12.

sin α sin β 2sin

α β

cos

α β

;

13.	cos α cos β 2cos α β		cos	α β		;
	2				2
14.	cos α cos β 2sin α β sin				α β		;
15.	tg α tg β	sin α β 2;			2
15.	tg α tg β	sin α β 2;
	cos α cos β
16.	sin2 α 1 cos 2α ; cos2		α 1 cos 2α					;
	2				2

17.sin α cos β 12 sin α β sin α β ;

18.cos α cos β 12 cos α β cos α β ;

19.sin α sin β 12 cos α β cos α β


20.		sin		α			1 cos α		;		cos	α			1 cos α		;
				2		2						2		2
21.	tg		α			sin α		;		ctg		α		sin α		.
21.	tg		2		1 cos α			;		ctg		2	1	cos α		.
			2		1 cos α							2	1	cos α

			Таблица значений тригонометрических функций
α,	0	π	π	π	π	2π 3π 5π			π	7π 5π 4π 3π 5π 7π 11π							2π
рад		6	4	3	2	3	4	6		6	4	3	2	3	4	6

α, ° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

		1													1					1																						1
sinα	0	1	2		3					1	3		2		1	0			–	1	–	2		–		3					–1		–	3	–		2			–		1			0
		2													2					2																						2
		2	2		2						2		2		2					2		2				2								2			2					2
					1						1															1								1
		3	2		1						1		2		3					3		2				1								1			2					3
cosα	1							0			– 2 –			–			–1		–		–			–								0													1
cosα	1	2	2		2			0			– 2 –		2	–	2		–1		–	2	–	2		–		2						0		2			2		2						1
tgα	0	1		1									–1	–	1			1				1															–1		–			1			0
		1			3					− – 3					1		0	1								3						− – 3										1

		3													3					3																						3
		3													3					3																						3
ctgα			1		1				0		–	1	–1									1	1									0	–	1			–1
	−	3			1							1		–	3		−			3			1											1					–				3 −

					3						3															3								3
					3						3															3								3
							Решение тригонометрических уравнений

Уравнение						Общее решение																Частные случаи
																						Частные случаи
																	а = 0											а = 1										а = −1
																	а = 0											а = 1										а = −1
				x 1 n arcsin a πn
										или																			π										π
sin x a				x1		arcsin a 2πn											x πn							x								2πn			x								2πn
sin x a				x1		arcsin a 2πn											x πn							x					2			2πn			x					2			2πn
						π arcsin a 2πn
				x2		π arcsin a 2πn
				x arccos a 2πn
cos x a										или							x	π		πn							x 2πn										x π 2πn
				x1		arccos a 2πn												π

																		2
						arccos a 2πn
				x2		arccos a 2πn
tg x a				x arctg a πn													x πn								x				π			πn				x					π			πn
tg x a				x arctg a πn													x πn								x							πn				x								πn
																													4										4
ctg x a				x arcctg a πn													x	π		πn					x				π			πn					x		3π					πn
ctg x a				x arcctg a πn													x		2	πn					x					4		πn					x		4					πn
																			2											4									4
	где n Z (Z – множество целых чисел: …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …)

Свойства четности и нечетности тригонометрических функций

cos x cos x − четная sin x sin x − нечетная tg x tgx − нечетная ctg x ctgx − нечетная

arccos x π arccos x arcsin x arcsin x arctg x arctgx arcctg x π arcctgx

Обратные тригонометрические функции

		π		π			a 1; 1
arcsin a t,	t		;		,	sin t a,

		2		2

arcsin sin t t,		π			π
	t			;
	t			;
		2			2
sin arcsin a a,	a 1; 1
arccos a t, t 0; π ,			cos t a,			a 1; 1
arccos cos t t,	t 0; π

cos arccos a a, a 1; 1

arctg a t, t

;

tg t a, a R

arctg tg t t,

;

tg arctg a a,

a R

arcctg a t, t 0; π ,

ctgt a,

a R

arcctg ctgt t,

t 0; π

ctg arcctg a a,

a R

Формулы приведения

sin

cos t

cos

t sint

t ctg t

ctg

t tg t

sin π t sint

cos π t cos t

tg π t tg t

ctg π t ctg t

3π

sin

cos t

cos

t sint

t ctg t

ctg

tg t

sin 2π t sint

cos 2π t cos t

tg 2π t tg t

ctg 2π t ctg t

Знаки тригонометрических функций

−

sin t

cos t

tg t, ctg t

Показательные уравнения и неравенства

a f x a g x

f x g x .

a 1

a x 1,

a x

a x 0,

f x

g x

f x g x .

a f x a g x

a 1 f x g x 0.

a f x

a g x

a 1 f x g x 0.

a f x a g x

a 1 f x g

h x

a f x a g x

a 1 f x g

h x

7.		a f x a g x		0	f x g x	0.
7.		ah x a p x		0	h x p x	0.
	a x f x a x g x
8.		a x 0,
			x 1 f x g x 0.
		a	x 1 f x g x 0.
	a x f x a x g x
9.		a x 0,
			x 1 f x g x 0.
		a	x 1 f x g x 0.

Корень n-ой степени

bn a, где

a 0, b 0,

n N ,

n 1

Свойства корня n-ой степени

где a 0, b 0 ;

где

a 0, b 0 ;

n b

k n

a 0 ;

где

a 0 ;

k n

где

np akp n ak ,

где a 0;

n четно ,

n an

n нечетно ;

n ak ,

a 0 .

где

Степени

p
a q q a p , где	a 0,	q N ,	p Z

Свойства степени (для n R, k R) 1. a0 1, где а 0 ;

2.	a1 а ;
		1			где а 0 ;
3.	a 1			,
		а

4.	a n		1		, где а 0 ;
		аn

5.	an ak an k ;

6. an : ak an k , где а 0;

7.an k ank ;

8.an bn ab n ;

	an		a n
9.				, где	b 0 ;

		bn	b

a n	b n
10.		, где	a 0,	b 0 .

b	a

Иррациональные уравнения и неравенства

					g x 0,
1.		f x	g x		g x 0,
1.		f x	g x
					f x g x
					g x 0,
		f x	g x		g x 0,
2.		f x	g x				x .
					f x g	2	x .
				f x 0,
				g x 0;
3.		f x	0
3.	g x		0	f x 0,
	g x			f x 0,

				g x 0.

					g x 0,

4.		f x	g x
4.		f x	g x		f x 0,
							x .
					f x g	2	x .

f x 0,f x g x .

			g x 0,

			f x 0;
5.	f x g x		f x 0;
5.	f x g x		g x 0,
			g x 0,

			f x g 2 x .
				f x 0,

6.	f x	g x
6.	f x	g x			x .
				f x g	x .
				f x 0,
7.	f x	g x		f x 0,
7.	f x	g x			x .
				f x g	x .

Логарифм

log

b c,

b ,

где a 0,

a 1,

b 0.

Основное логарифмическое тождество: аloga b b .

Свойства логарифмов

loga 1 0

logak am

logak bm

loga b

loga a 1

logс ab logc a logc b

alogc b blogc a

log

a log

log

loga

log

logc

logak a

logak

loga b

logb a

loga am m

loga bm mloga b

loga b logc d logc b loga d

Логарифмические уравнения и неравенства

При условии f x 0, g x 0,

a x 0, а x 1,

h x 0,

h x 1,

p x 0,

p x 1

выполняются следующие переходы:

loga f x loga g x

f x g x

loga x

f x loga x

g x

f x g x

loga f x 0 или 0;

a 1 f x 1 0

или 0;

log

a x

f x 0

или 0;

0; 0

0 или

a x

1 f

loga f x loga g x или ;

;

a 1 f x g x 0

или 0;

log

a x

f x log

a x

g x или ;

;

0 или

a x

1 f

g x

log

h x

а x log

p x

а x 0

а x

1 h x

p x

h x

или 0;

log

h x

f x log

p x

g x 0

1 g x

или 0;

h x 1 p x 1

logh x f x

или 0; 0;

f x

g x 1 h x 1 p x

log p x g x

или 0;

Соотношения в правильных многоугольниках

S(a)

R(a)

r(a)

a(r)

a(R)

R(r)

r(R)

S(R)

S(r)

P(a)

P(r)

P(R)

h(a)

−

Обозначения

a – сторона правильного n-угольника

R – радиус описанной окружности около правильного n-угольника r – радиус вписанной окружности в правильный n-угольник

S – площадь правильного n-угольника Р – периметр правильного n-угольника

h(a) – высота, проведенная к стороне правильного n-угольника

Теория вероятностей

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий,

которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения: P A mn .

(Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n 2k . Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n 6k ) Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное

между нулем и единицей 0 P A 1.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: P A B P A P B . Теорема сложения вероятностей совместных событий: P A B P A P B P A B .

Производная

Функция, f(x)

Производная, f '(x)

Функция, f(x)

Производная, f '(x)

A (const), A R

sin x

cos x

kx + b, k R, b R

k, k R

cos x

− sin x

x²

cos²x

− sin 2x

x n , n N

nx n 1 , n N

sin²x

sin 2x

x 2

, n N

a x

a x ln a

x n

, n N

ln x

x , n N

nn x n 1

loga x

x ln a

2 x

arcsin x

2x x

1 x 2

x α , α R

αx α 1 , α R

arccos x

−

x 2

tg x

arctg x

cos 2 x

1 x 2

ctg x

arcctg x

−

sin 2 x

1 x 2

Правила дифференцирования

v ;

1. u

;

2. Сu

C u

;

u v u v

3. u

v ;

Производная сложной функции

h f x

h f x f x

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке xо равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла α), проведенной к графику функции в точке с абсциссой xо.

k f xо tg α

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой хо:

у f xо x xo f xo

Физический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по

времени есть мгновенная скорость:

v t s t

Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «−», то хо – точка максимума функции f(x).

f x
	+	−
	+	−
f x		хо
f x

Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «−» на «+», то хо – точка минимума функции f(x).

f x	−	+

f x		хо
f x

Логарифмические уравнения и неравенства

f x g x , 1. loga f x loga g x f x 0,

g x 0.

			f x g x ,
			a x 0,

2. loga x f x loga x g x
2. loga x f x loga x g x			a x 1,
			f x 0,


			g x 0.

3. loga f x 0	f x	0,
3. loga f x 0
	a 1 f x 1 0.
4. loga f x 0	f x	0,
4. loga f x 0
	a 1 f x 1 0.

a x 0,

5. loga x f x 0 f x 0,

a x 1 f x 1 0.

		a x 0,
6. loga x f x 0
6. loga x f x 0		f x 0,

		a x 1 f x 1 0.
		a x 0,

7. loga x f x 0		a x 1,
7. loga x f x 0
		f x 0,
		a x 1 f x 1 0.

		a x 0,

8. loga x f x 0		a x 1,
8. loga x f x 0
		f x 0,
		a x 1 f x 1 0.

		f x 0,
9. loga f x loga g x
9. loga f x loga g x		g x 0,

		a 1 f x g x 0.

10.loga x

11.loga x

12.logh x

		a x 0,

f x loga x g x		f x 0,
f x loga x g x
		g x 0,
		a x 1 f x g x 0.

		a x 0,
		a x 1,

f x loga x g x
f x loga x g x		f x 0,
		g x 0,

		a x 1 f x g x 0.

	h x 0,
	h x 1,

	p x 0,
		f x 1 g x 1
f x log p x g x 0		f x 1 g x 1	0,

		h x 1 p x 1
		h x 1 p x 1
	p x 1,

f x 0,g x 0.

			h x 0,
			h x 1,


			p x 0,
	logh x f x		p x 1,
	logh x f x
13.		0	f x 0,
13.	log p x g x	0	f x 0,
	log p x g x
			g x 0,

			g x 1,
				f x 1
				f x 1	0.
				h x 1 p x 1 g x 1	0.
				h x 1 p x 1 g x 1

Соседние файлы в папке Математика 2

#
18.08.2023401.93 Кб2515 задание ЛОГАРИФМЫ (2).pdf
#
18.08.20232.74 Mб2915 задание ЛОГАРИФМЫ.pdf
#
18.08.2023702.77 Кб26150 ВАЖНЫХ ФОРМУЛ.pdf
#
18.08.20233.77 Mб23190902_Profilnaya_matematika_-_Probny_variant_1_s_resheniem.pdf
#
18.08.202310.21 Mб232405- ЕГЭ-2019. Математика. Баз. уровнь. 50 вар._Ященко_2019 -272с.pdf
#
18.08.20231.82 Mб27250 ФОРМУЛ.pdf
#
18.08.202371.1 Кб2241P03hfgYj4.jpg
#
18.08.20232.9 Mб23Математика шпаргалка.pdf
#
18.08.2023603.43 Кб24Методические рекомендации 2020.pdf
#
18.08.2023471.62 Кб23МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ.pdf
#
18.08.2023471.62 Кб23МЕТОДИЧКА 2020.pdf