Математика / Математика 2 / 15 задание ЛОГАРИФМЫ

PĀRTA

Логарифмические неравенства

Логарифмическими выражениями называются выражения, алгебраическая запись которых содержит переменную под знаком логарифма или в его основании. Неравенства, одна или обе части которых содержат логарифмические выражения, называются логарифмическими. В соответствии с принятой в книге классификацией алгебраическая запись таких неравенств может включать в себя и любые другие алгебраические выражения школьного курса математики: рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные. Таким образом, логарифмические неравенства представляют собой самый широкий в своём роде класс неравенств курса элементарной математики. Общие методы решения логарифмических неравенств (равносильные преобразования, метод введения новой переменной, метод знакотождественных множителей, метод интервалов и др.) предполагают умение применять свойства логарифмов и использовать монотонность логарифмической функции. Напомним эти свойства:

1)aloga b =b (a >0, a 6=1, b >0);

2)logc a +logc b =logc(ab) (a >0, b >0, c >0, c 6=1);

3)logc a −logc b =logc ab (a >0, b >0, c >0, c 6=1);

4)logc ab =b logc a (a >0, c >0, c 6=1);

5)logcd a = 1d logc a (a >0, c >0, c 6=1, d 6=0);

Область допустимых значений логарифмического алгебраического выражения logc f (x) с числовым основанием c >0, c 6=1 задаётся неравенством f (x) >0. Область допустимых значений логарифмического алгебраического выражения общего вида (с переменным основанием) logg(x) f (x) задаётся системой неравенств

f (x) > 0,

g(x) > 0,

g(x) 6= 1.

294 Глава 8. Логарифмические неравенства

Необходимо чётко понимать, что приведённые свойства справедливы только при указанных условиях и только для арифметических (числовых) выражений. Для алгебраических логарифмических выражений эти свойства при решении уравнений и неравенств нужно применять, учитывая ОДЗ таких выражений, с тем чтобы не допускать её сужения (обычно ведущего к потере решений) или расширения (обычно ведущего к появлению посторонних решений). Так, для алгебраических логарифмических выражений и чётных степеней свойства 4–5 примут

вид

logc(x)(a(x))2b = 2b logc(x) |a(x)|;

log(c(x))2d a(x) = 21d log|c(x)| a(x).

Если «забыть» о знаке модуля, применение формул приведёт к сужению ОДЗ и потере решений, поскольку, например, выражение logc(x)(a(x))2b для допустимых оснований определено при a(x) 6= 0, а выражение 2b logc(x) a(x) — только при a(x) >0. Аналогичное замечание справедливо и для второй из формул.

Ещё одна довольно частая ошибка связана с преобразованием логарифма произведения (частного) двух логарифмических алгебраических выражений в сумму (разность) логарифмов. Область допустимых

значений каждого из выражений logc(a(x)b(x)) или logc задаёт-

ся условием a(x)b(x) > 0 (т. е. числа a(x) и b(x) должны быть одного знака: либо оба положительны, либо оба отрицательны). Область допустимых значений каждого из выражений logc a(x) +logc b(x) или logc a(x) −logc b(x) задаётся условиями a(x) >0 и b(x) >0 (т. е. числа a(x) и b(x) должны быть оба положительны). Именно поэтому при переходе от логарифма произведения (частного) к сумме (разности) логарифмов ОДЗ уравнения и неравенства может сузиться, а при обратном переходе — расшириться. Чтобы избежать потери решений, нужно либо рассматривать два случая:

logc(a(x)b(x)) =logc(−a(x)) +logc(−b(x)),

a(x)

logc b(x) =logc(−a(x)) −logc(−b(x)),

либо использовать формулу

logc(a(x)b(x)) = logc |a(x)|+logc |b(x)|

при условии a(x)b(x) >0, либо искать другой путь решения.

Для перехода от суммы (разности) двух алгебраических логарифмических выражений с одинаковым основанием к логарифму произведения (частного) достаточно записать условия положительности каждого из выражений под знаком логарифма (т. е. ОДЗ), что позволит исключить приобретение посторонних решений.

§ 8.1. Простейшие логарифмические неравенства

Простейшими логарифмическими неравенствами будем называть неравенства вида loga f (x) b или loga f (x) loga g(x), где a и b — действительные числа, a >0, a 6=1, f (x) и g(x) — многочлены первой или второй степени, символом « » обозначен, как и везде в этой книге, один из четырёх возможных знаков неравенства. Решение простейших логарифмических неравенств существенным образом основывается на монотонности логарифмической функции и учитывает её область определения. Если a >1, то функция y =loga t возрастает на (0; +∞), и тогда

(если меньшее из двух чисел положительно, то и большее положительно, поэтому условие положительности t2 можно не включать в систему). Если 0 <a <1, то функция y =loga t убывает на (0; +∞), и тогда

(если меньшее из двух чисел положительно, то и большее положительно, поэтому условие положительности t1 можно не включать в систему). Из этих свойств и того, что b =loga ab, легко получить следующие базовые равносильные переходы.

Если a >1, то

Для строгих неравенств все неравенства в правых частях приведённых равносильных переходов также будут строгими. Таким образом, для простейших логарифмических неравенств при освобождении от знаков логарифмов (такую операцию иногда называют потенцированием) знак неравенства сохраняется, если основание логарифма больше 1, и меняется на противоположный, если основание логарифма положительно и меньше 1. При этом ОДЗ можно не выписывать, ограничившись условием положительности меньшего (в силу неравенства, полученного после потенцирования) из двух чисел под знаками логарифмов.

Пример 1. Решите неравенство log0,5(4x2 +8x −3) 6 −1.

Р е ш е н и е. Поскольку основание логарифма меньше 1, данное не-

равенство равносильно следующему: 4x2 + 8x − 3 > (0,5)−1, откуда 4x2 + 8x −3 > 2 и 4x2 + 8x −5 > 0. Корнями квадратного трёхчлена

4x2 +8x −5 являются числа −2,5 и 0,5, старший коэффициент трёхчлена положителен. Поэтому множеством решений данного неравенства является объединение (−∞; −2,5] [0,5; +∞).

Ответ: (−∞; −2,5] [0,5; +∞).

Ещё раз обратим внимание на то, что при решении простейших логарифмических неравенств не нужно торопиться и в обязательном порядке выписывать ОДЗ. В данном случае 4x2 +8x −3 > 2, а значит, и подавно 4x2 +8x −3 > 0. Поэтому решение последнего неравенства, задающего ОДЗ данного неравенства, было бы напрасной тратой времени, причём, вероятно, относительно продолжительного: ведь корни квадратного трёхчлена 4x2 +8x −3 иррациональны.

Пример 2. Решите неравенство

logπ(x2 +3x −4) 6 logπ(3x2 −6x +5).

Р е ш е н и е. Поскольку основание логарифмов больше 1, данное неравенство равносильно системе неравенств

x2 +3x −4 6 3x2 −6x +5, x2 +3x −4 > 0,

откуда

2x2 −9x +9 > 0, x2 +3x −4 > 0.

Корнями квадратного трёхчлена 2x2 −9x +9 являются числа 1,5 и 3, старший коэффициент трёхчлена положителен. Поэтому множеством решений первого неравенства системы является объединение (−∞; 1,5] [3; +∞). Корнями квадратного трёхчлена x2 + 3x −4 являются числа −4 и 1, старший коэффициент трёхчлена положителен. Поэтому множеством решений второго неравенства системы является объединение (−∞; −4) (1; +∞), а множеством решений всей системы (а значит, и данного неравенства) будет объединение (−∞; −4)

(1; 1,5] [3; +∞).

Ответ: (−∞; −4) (1; 1,5] [3; +∞).

Пример 3. Решите систему неравенств

log2(3x2 −14x +16) 6 4, lg(2x2 −5x +3) 6 lg(x2 −3).

Ре ш е н и е. 1. Решим первое неравенство данной системы. Оно равносильно системе неравенств

3x2 −14x +16 6 16, 3x2 −14x +16 > 0,

жеством решений неравенства 3x2 −14x +16 >0 является объедине-

(а значит, и первого неравенства данной системы) будет объединение

i

8 14

[0; 2) 3 ; 3 .

2. Решим второе неравенство данной системы. Оно равносильно системе неравенств

Корнями квадратного трёхчлена x2 −5x + 6 являются числа 2 и 3, старший коэффициент трёхчлена положителен. Поэтому множеством решений неравенства x2 −5x +6 6 0 является отрезок [2; 3]. Корнями квадратного трёхчлена 2x2 −5x +3 являются числа 1 и 1,5, старший коэффициент трёхчлена положителен. Поэтому множеством решений неравенства 2x2 −5x +3 >0 является объединение (−∞; 1) (1,5; +∞),

амножеством решений системы

x2 −5x +6 6 0, 2x2 −5x +3 > 0

(а значит, и второго неравенства данной системы) будет, очевидно, отрезок [2; 3].

3. Найдём множество решений данной системы как пересечение