Математика / Математика / Математика / Математика / Математика / Задача 5

Сегодня обсуждаем уравнения.

Задача 5 первой части – это один из семи видов уравнений. Впрочем, пугаться такого количества различных видов уравнений не надо: как правило, решаются они в одно-два действия, часто можно «угадать» или подобрать корень. Почему тогда некоторые ребята допускают ошибки в этом задании? Самая распространенная – банальная невнимательность в арифметике. Еще одна ошибка – неправильный выбор нужного корня. Об этом и поговорим сегодня.

До разбора конкретных задач сразу даю универсальный рецепт от любых ошибок. Делайте проверку найденных корней. Потратите на это 30 секунд времени, зато застрахуете себя от описок, арифметических ошибок и неверного выбора корня из двух найденных. Переходим к практике.

Задача 1. Решите уравнение (2 − 3)! = (2 + 5)!.

Многие ребята в этом уравнении убирают вторую степень, получают уравнение 2 − 3 = 2 + 5, которое после приведения подобных слагаемых превращается в 0 = 8. Икс пропал, что делать? Чаще всего в бланк ответов пишут либо 0, либо 8. Ведь что-то же надо написать! Ни то, ни другое число, разумеется, ответом не является, в чём легко убедиться, сделав подстановку = 0 и = 8 в исходное уравнение.

А что тогда писать? Правильный ответ, конечно же! Как его получить? Не торопиться – можно спокойно раскрыть скобки, тогда получим 4 ! − 12 + 9 = 4 ! + 20 + 25 . Приводим подобные слагаемые и получаем −32 = 16, отсюда находим = −0,5. Является ли это число правильным ответом? Давайте проверим.

(2 ∙ (−0,5) − 3)! = (−1 − 3)! = (−4)! = 16 в левой части уравнения

и (2 ∙ (−0,5) + 5)! = (−1 + 5)! = (4)! = 16 в правой части уравнения.

Так что всё отлично, ответ = −0,5.

Задача 2. Решите уравнение 2 ! + 15 + 7 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Простое уравнение. Стандартное квадратное уравнение. Сразу вычисляем дискриминант.= 15! − 4 ∙ 2 ∙ 7 = 225 − 56 = 169. Корень из дискриминанта легко извлекается и равен 13. Тогда

" = #"!∙!$%"& = #!( = −0,5;

! = #"!∙!$#"& = #!)( = −7.

Как здесь можно сделать ошибку? К примеру, забыть, что в знаменателе удвоенный старший коэффициент. Но мы его не забыли, так что корни найдены правильно (рекомендую убедиться в этом, сделав проверку!).

Теперь осталось выбрать меньший из корней. Как раз в этот момент многие ребята делают ошибку – пишут в ответ число −0,5. Верно же, что 0,5 меньше, чем 7? Верно, но у нас не положительные числа, а отрицательные. Поэтому меньшим будет то число, которое находится дальше от нуля. Поэтому верным ответом является число −7.

Задача 3. Решите уравнение *%!*#" = **#". Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Перед нами равенство двух дробей. Сразу применяем правило пропорции и получаем: ( + 2) ∙ ( − 1) = ( − 1) ∙ (3 − ). Дальнейшее просто: раскрываем скобки, приводим подобные, решаем.

! − + 2 − 2 = 3 − ! − 3 + ,

2 ! − 3 + 1 = 0,

= (−3)! − 4 ∙ 2 ∙ 1 = 9 − 8 = 1.

" = &%"!∙! = (( = 1;

! = "!∙! = !( = 0,5.

Очевидно, что 1 > 0,5, поэтому напрашивается в бланк ответов записать = 1. Но это грубая ошибка! Почему? Потому что мы не сделали одно важное действие: не нашли ОДЗ. В условии есть дроби, знаменатели которых должны быть отличны от нуля. Значит, − 1 ≠ 0, то есть ≠ 1. Следовательно, из двух найденных корней один ( = 1) является посторонним! Значит, правильный ответ = 0,5.

Можно ли было обойтись без нахождения ОДЗ? Можно. Сделайте проверку. Тогда при подстановке в уравнение = 1 мы получим &+ = !+. Но делить на ноль нельзя! Поэтому = 1 надо сразу исключить.

Задача 4. Решите уравнение √5 + 9 = 2 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Избавляемся от корня, возводя обе части уравнения в квадрат: 5 + 9 = 4 !. Снова получили квадратное уравнение, решаем его стандартным способом.

4 ! − 5 − 9 = 0,

= (−5)! − 4 ∙ 4 ∙ (−9) = 25 + 144 = 169.

" = $!∙(%"& = ")) = 2,25;

! = $!∙(#"& = #)) = −1.

Ясно, что отрицательный корень меньше положительного. Но мы с вами уже опытные, поэтому, сначала сделаем проверку.

75 ∙ (−1) + 9 = √−5 + 9 = √4 = 2 в левой части уравнения

и 2 ∙ (−1) = −2 в правой части уравнения.

Левая и правая части не равны друг другу, значит, = −1 не является корнем уравнения.

75 ∙ 2,25 + 9 = 711,25 + 9 = 720,25 = 4,5 в левой части уравнения

и 2 ∙ 2,25 = 4,5 в правой части уравнения.

Левая и правая части равны друг другу, значит, = 2,25 - наш корень.

Задача 5. Решите уравнение log* 25 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Сразу используем определением логарифма и переходим от исходного уравнения к такому: 25 = (3 − )! . Снова перед нами квадратное уравнение. Решим его другим способом. Если (3 − )! = 25, то в квадрат возводилось одно из двух чисел: либо 5, либо −5. Решим их поочередно:

3 − = 5,

− = 5 − 3,

− = 2,

= −2;

и 3 − = −5,

− = −5 − 3,

− = −8,

= 8.

Делаем проверку. Начинаем с большего из найденных чисел. log) 25 = log#$ 25. Стоп! Этого не может быть, потому что основание логарифма должно быть строго больше нуля, а здесь в основании получилось отрицательное число.

Другой возможный корень. log(#!) 25 = log$ 25 = 2. Здесь всё хорошо, значит, = −2 пишем в бланк ответов.

Подводим итоги. Если уравнение имеет больше одного корня, сделайте проверку обоих. Если вы нашли один корень, не спешите писать его в бланк ответов, всё равно сделайте проверку. Тем самым вы обезопасите себя от грубых и арифметических ошибок.

Желаю успеха в изучении математики!

Как обычно, несколько задач для закрепления материала.

1.Решите уравнение (4 + 5)! = (4 − 7)!.

2.Решите уравнение 2 ! + 19 + 9 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

3.Решите уравнение *#*#!$ = **#!. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней

4.Решите уравнение √3 − 2 = − . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

5.Решите уравнение log*#. 64 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответы.

1.0,25.

2.−0,5.

3.4.

4.−3.

5.15.