Математика / Математика / Математика / Математика / Математика / Задание 8(1)

Сегодня говорим о задаче 8 первой части.

Стереометрия. Насколько легко она вам дается в изучении? Насколько уверенно вы ориентируетесь в чертежах трехмерных фигур (многогранников, тел вращения)?

Стоп, но ведь в первой части профиля не должно быть сложных задач. Давайте попробуем научиться решать эти задачи вообще без чертежа!

Первое, что мы должны хорошо знать – формулы объема и площади поверхности. Здесь важно понимать, что в любой формуле объема присутствуют три линейных размера, а в формуле площади – два.

Еще один полезный факт: площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате, а объемы – как коэффициент подобия в кубе. Важно понимать, почему это именно так. Если каждый размер изменяется в раз, то площадь изменяется в " раз, а объем – в ! раз. В этом легко убедиться, внимательно изучив формулы.

Переходим к практике.

Задача 1. Ребро куба увеличила в 2 раза. Во сколько раз изменятся площадь его поверхности и объем?

Можно сразу давать ответ, если мы понимаем, что фигуры подобны, и коэффициент подобия равен двум. Тогда площадь поверхности увеличится в 2" = 4 раза, а объем – в 2! = 8 раз.

Но можно, чтобы убедиться в том, что всё работает правильно, один раз посчитать подробно. Пусть ребро исходного куба равно . Тогда площадь его поверхности равна = 6 ", а объем равен = !. Находим длину ребра нового куба, она равна 2 . Считаем площадь поверхности и объем по формулам, в которые подставляем = 2 .

Получаем = 6 " = 6 ∙ (2 )" = 6 ∙ 4 " = 24 " и = ! = (2 )! = 8 !.

Осталось сравнить с тем, что было. Площадь поверхности была 6 " , стала 24 " . Увеличилась в 4 раза. Объем был !, стал 8 !. Увеличился в 8 раз. Разумеется, мы получили тот же самый ответ.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Задача 2. Объем первого куба в 27 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

О чём задача? О подобных телах. Находим коэффициент подобия: речь об объемах, значит, число 27 равно коэффициенту подобия в третьей степени. Отсюда получаем, что= 3. Теперь легко ответить на вопрос задачи: надо возвести коэффициент подобия во вторую степень, и получить ответ – в 3" = 9 раз.

Важный момент, на который необходимо обращать внимание, – получаются ли подобные фигуры. Это будет только в том случае, если все линейные размеры изменяются в одно и то же количество раз. Задача становится чуть сложнее, если первый размер увеличивается в одно количество раз, а второй – в другое.

Задача 3. Во сколько раз увеличится объем цилиндра, если радиус основания увеличить в 4 раза, а высоту – в три раза.

Смотрим внимательно и видим, что линейный размеры (радиус основания, высота) меняются в разное количество раз, следовательно, исходная и конечная фигура не подобны. Вспоминаем формулу объема цилиндра = " , в которой участвует дважды (возводится во вторую степень), – один раз. Тогда новый объем будет больше старого в 4" ∙ 3 = 48 раз.

Еще один пример.

Задача 4. Объем конуса равен 1,5. Радиус основания увеличили в 2 раза, а высоту уменьшили в 3 раза. Найдите объем полученного конуса.

Сразу вспоминаем формулу объема конуса: = &! " . Размеры конуса изменяются разнонаправлено. Решаем задачу в два действия. Сначала проследим за изменением объема при увеличении радиуса основания – объем увеличится в 2" = 4 раза. Теперь смотрим за изменением объема при уменьшении высоты – объем уменьшается в три раза. В итоге получаем следующее: 1,5 ∙ 4: 3 = 2. Итак, объем полученного конуса равен двум.

Еще одна задача, в которой рассматриваются два цилиндра сразу.

Задача 5. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в два раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз площадь боковой поверхности второй кружки больше площади боковой поверхности первой?

Для решения задачи нам потребуется знание формулы площади боковой поверхности цилиндра = 2 , в которую радиус основания и высота входят по одному разу. Значит, при изменении какого-то одного размера в раз, во столько же раз изменяется и площадь. Тогда для простоты вычислений принимаем площадь боковой поверхности первой кружки за единицу и следим за тем, как меняются размеры и площадь. Первая

кружка в два раза выше второй, значит, высота уменьшается в два раза. Вторая кружка втрое шире первой, значит, радиус основания увеличивается в три раза. В итоге получаем следующее: 1: 2 ∙ 3 = 1,5. Итак, площадь боковой поверхности второй кружки в 1,5 раза больше площади боковой поверхности первой кружки.

Как обычно, несколько задач для закрепления материала.

1. Радиус основания первого конуса в 2 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 3 раза больше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 22?

2 Объём цилиндра равен 1. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Найдите объём получившегося цилиндра.

3.Объём цилиндра равен 12. Чему равен объём конуса, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр?

4.Металлический шар весит 360 г. Сколько граммов будет весить шарик вдвое меньшего радиуса, сделанный из того же металла?

5.Радиус основания первого конуса в 3 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а высота первого конуса в 2 раза больше высоты второго. Чему равен объём второго конуса, если объём первого равен 7?

6.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда

270мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

7.Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в 1,2 раза?

8.Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в три раза ниже второй, а вторая вдвое уже первой. Во сколько раз площадь боковой поверхности второй кружки больше площади боковой поверхности первой?

9.Площадь поверхности первого куба меньше площади поверхности второго куба в 9 раз. Во сколько раз объём первого куба меньше объёма второго куба?

10.Объём одного шара в 125 раз больше объёма второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Ответы.

1.33.

2.0,75.

3.4.

4.45.

5.31,5.

6.80.

7.1,44.

8.1,5.

9.27.

10.25.