Математика / Математика / Математика / Математика / Математика / Задание 17

Поговорим о задаче с экономическим содержанием.

По моему мнению, по соотношению затраты времени на изучение / количество баллов во второй части самой ценной является именно задача 17. Почему так? Достаточно знания определения процента и понимания, как составляется математическая модель, и можно рассчитывать на три первичных балла. Более того, многие задачи решаются простой арифметикой. Еще важно отметить то, что после нахождения ответа можно сделать проверку. Это почти наверняка застрахует нас от арифметических ошибок.

Вспомним определение. Процент - это сотая часть числа. 1% = !""! = 0,01.

Три величины, которые мы должны быстро уметь считать:

найти процентов от числа – это величина !""# ∙ ;

увеличить число на процентов – это величина )1 + !""# + ∙ ;

уменьшить число на процентов – это величина )1 − !""# + ∙ .

Разберитесь самостоятельно, как получаются эти формулы, это несложно. Определения процента достаточно.

Переходим к обсуждению общей схемы задач на кредиты. В любой задаче по этой теме присутствуют четыре величины: размер кредита, срок кредита, процентная ставка банка и платежи. Как правило, три величины из четырех известны, необходимо найти оставшуюся. Важнейшим условием является последовательность действий банка и заемщика. Обязательно надо разобраться, сначала начисляются банковские проценты на текущую сумму долга, а затем вносится платеж, или наоборот. На практике (да и в жизни) сначала «ходит» банк, а затем заемщик. Тем не менее, изредка встречаются задачи, где эти действия совершаются в другом порядке. Так что внимательность при прочтении условия задачи лишней не будет!

В одних задачах кредит берется на месяцы, в других – на годы. Суть задачи от этого не меняется. Будем называть это периодами. Тогда вместо «кредит берется на 3 года» или «кредит берется на 3 месяца» будем читать «кредит берется на 3 периода». Наиболее понятный путь – составить таблицу, в которой четыре столбца (долг на начало периода, начисленные проценты, платеж, долг на конец периода) и количество строк, равное количеству периодов.

1

2

3

…

Теперь начинаем заполнять таблицу. Для этого введем обозначения. - размер кредита,- процентная ставка, !, $, %,… - платежи. Теперь рассуждаем. В течение периода совершаются два действия: сначала банк начисляет проценты на текущий долг, записываем эту величину во втором столбце. Затем вносим платеж, фиксируем эту величину в третьем столбце. Величина в четвертом столбце легко вычисляется: к долгу на начало периода прибавляем проценты и вычитаем внесенный платеж. Заполним первую строку:

2 3

Что дальше? Долг на начало второго периода равен долгу на конец первого периода. Тогда всё становится понятным. Заполняем вторую строку по точно такой же схеме. Как только вычислим долг на конец второго периода, то автоматически получим долг на начало третьего периода. И так далее – до последнего периода (по условию задачи). Посмотрим, как это работает на практике?

Задача. Взяли кредит в сумме 33184 рубля банке на три года под 25% годовых и выплатили тремя равными платежами. Чему равна общая сумма выплат после полного погашения кредита?

Поскольку все платежи одинаковые, обозначим их буквой . Заполняем таблицу для первого периода.

Легко? Конечно. Дальше всё будет точно так же! Смотрим второй период.

Сложно было? Снова нет. Переходим к третьему периоду.

Ну а теперь сложно? Не очень, разве что десятичные дроби добавились.

На этом заполнение таблицы завершено, осталось составить математическую модель по условию задачи. Стоп. А что мы до этого делали? По сути, мы и составляли математическую модель – действие за действием. Всего-то осталось написать уравнение и решить его. По условию кредит полностью погашен за три периода, следовательно, долг на конец третьего периода равен нулю. Отсюда получаем: 64812,5 − 3,8125 = 0. Решая его, получаем = 64812,5: 3,8125 = 17000. Теперь внимательно читаем вопрос задачи.

Чему равна общая сумма выплат после полного погашения кредита? Значит, надо сделать еще одно действие, а именно 17000 умножить на три и получить ответ: 51000 рублей.

Прежде, чем писать ответ, сделаем проверку на правдоподобность. Взяли в кредит 33184 рубля, вернули 51000 рублей. Логично – вернули больше, так как кроме суммы основного долга трижды были начислены проценты, которые также необходимо было погасить.

Если возникли хоть малейшие сомнения, делаем проверку, заново заполняя таблицу. Но теперь мы знаем, чем равен икс. Это позволяет нам провести все вычисления достаточно быстро и просто.

Подводим итоги. По условию задачи мы получили линейное уравнение. Конечно, не всегда будет настолько простое уравнение. Но шаги, которые мы будем делать для решения любой задачи, будут те же самые.

Желаю успеха в изучении математики!

Как обычно, несколько задач для самостоятельного решения.

1. 31 декабря 2020 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Дмитрий переводит в банк рублей. Какой должна быть сумма , чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами?

2.Взяли кредит в сумме 177120 рублей банке на четыре года под 25% годовых и выплатили четырьмя равными платежами. Чему равна общая сумма выплат после полного погашения кредита?

3.31 декабря 2020 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Олег переводит в банк 2132325 рублей. Какую сумму взял Олег в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами?

4.Николай взял кредит в банке в размере 65100 рублей на 2 года под % годовых. Найдите , если известно, что проценты на остаток долга начисляются в начале года, а платеж вносится в конце года, и ежегодно Николай вносил по 41067 рублей.

5.Вася хочет взять в кредит 110000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, возможно, последней) после начисления процентов. Процентная ставка – 10% годовых. На какое минимальное количество лет Вася может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 27000 рублей?

Ответы.

1.Ответ: 2622050 рублей.

2.Ответ: 300000 рублей.

3.Ответ: 6409000 рублей.

4.Ответ: 17.

5.Ответ: 6.