Математика / Математика / Математика / Математика / Математика / ЗАДАНИЕ 6
.pdf
Задание №6 ЕГЭ по математике профильного уровня
Планиметрия. Углы.
Задание №6 профильного уровня ЕГЭ по математике — решение геометрических задач. В данном задании необходимо справиться с задачей по планиметрии на определение углов.
Теория к заданию №6
Немного стоит напомнить об углах в окружности, так как в задачах это достаточно популярная тематика.
Центральный и вписанный углы:
Разбор типовых вариантов заданий №6 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите
угол BOC . Ответ дайте в градусах.
Алгоритм решения:
1.Выполняем рисунок.
2.Определяем вид угла.
3.Применяем свойство вписанных углов и вычисляем искомый угол.
4.Записываем ответ.
Решение:
1. Выполняем рисунок.
2.Угол, который нужно найти является центральным. Он опирается на ту же дугу, что и угол АВС.
3.Вспомнить правило: «центральный угол в два раза больше вписанного, который опирается на ту же дугу».
4.Вписанный угол АВС, согласно условию, равен 320. Тогда центральный угол
BOC равен 320∙ 2 = 640
Ответ: 640.
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
Площадь треугольника ABC равна 152. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Алгоритм решения:
1.Устанавливаем подобие треугольников.
2.Используем свойство площадей подобных треугольников.
3.Записываем ответ.
Решение:
1.DE – средняя линия треугольника, следовательно, все стороны в треугольнике CDE меньше соответствующих сторон в треугольнике ABC. Это означает, что треугольники подобны, и коэффициент подобия равен 2.
2.Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия,
следовательно, площадь треугольника CDE в |
раза меньше, чем площадь |
треугольника ABC. Имеем: |
|
152 / 4 = 38 |
|
Ответ: 38. |
|
Третий вариант задания (из Ященко, №23)
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 36°, угол CAD равен 52°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Алгоритм решения:
1.Отмечаем на рисунке углы, которые ланы в задаче.
2.Используем свойство вписанных углов.
3.Находим угол АВС.
4. Записываем ответ.
Решение:
1.Отмечаем углы ABD и CAD на рисунке. Эти углы вписаны в окружность.
2.Воспользуемся свойством вписанных в окружность углов: они равны градусной меры дуги, на которую опираются.
|
|
|
|
0 |
|
0 |
, |
Тогда угол ABD, опирающийся на дугу AD. Градусная мера ее равна 36∙2=72 |
|
||||||
второй – угол CAD опирается на дугу CD с градусной мерой 520∙2=1040. |
|
|
|
||||
0 |
0 |
=176 |
0 |
, а угол АВС, |
|||
3. Дуга AC=AD+CD. Она имеет градусную меру: АС=72+104 |
|
|
|||||
который на нее опирается, определяется как половина |
|
величины |
дуги: |
||||
1760:2=880. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 88.
Четвертый вариант задания (из Ященко, №10)
Угол АСВ равен 54°. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точек D
и Е, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Алгоритм решения:
1.Вычисляем угол BDA.
2.Определяем величину угла ADC,
3.Рассматриваем треугольник ADC, определяем искомый угол.
4.Записываем ответ.
Решение:
1.Вычислим угол BDA. Он вписан в окружность, опирается на дугу AB. Тогда по свойству вписанных углов, его градусная мера равна половине градусной величины дуги AB. Тогда 
.
2.Рассматриваем угол ADC. Он смежный с углом BDA, значит,
3. Рассматриваем треугольник ADC. В нем известны два угла. По свойству суммы углов треугольника третий угол DAC можно найти так:
Из рисунка видно, что угол DAC совпадает с углом DAE, следовательно, угол DAE тоже равен 150.
Ответ: 150.